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図形と方程式の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学II 図形と方程式

$k$ を実数の定数とする。直線
$(k + 2) x + (2 k - 1) y - 5 k = 0$
は、 $k$ の値によらず定点を通る。その定点の座標を求めよ。

x

y

O

k = 1

k = 1

のときの直線の一例

この問題で使うもの

定点を通る直線と2直線の交点を通る直線（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（16 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

「 $k$ を含む直線が $k$ によらず通る定点」を求める技能を使います。まず方程式を $k$ について整理しましょう。

ヒント 2

$f (x, y) + k g (x, y) = 0$ の形にまとめると、 $k$ によらず成り立つ条件は $f (x, y) = 0$ かつ $g (x, y) = 0$ です。

ヒント 3

整理すると $(2 x - y) + k (x + 2 y - 5) = 0$ となります。あとは $2 x - y = 0$ と $x + 2 y - 5 = 0$ を連立して解きます。

答えと解説

答えを見る

(1, 2)

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解説を読む

方針： $k$ の値によらず成り立つ式にするため、方程式を $k$ について整理します。

手順1： $k$ について整理する

左辺を展開すると
$k x + 2 x + 2 k y - y - 5 k = 0$
$k$ を含む項と含まない項に分けてまとめると
$(2 x - y) + k (x + 2 y - 5) = 0 (1)$

手順2： $k$ によらず成り立つ条件を考える

$(1)$ がどんな実数 $k$ に対しても成り立つのは、 $k$ の係数と、 $k$ を含まない部分がどちらも $0$ のときです。よって
$2 x - y = 0 (2), x + 2 y - 5 = 0 (3)$
これは、直線 $(1)$ が 2 直線 $(2)$ , $(3)$ の交点を通ることを意味しています。

手順3：連立方程式を解く

$(2)$ より $y = 2 x$ 。これを $(3)$ に代入すると
$x + 4 x - 5 = 0 より x = 1$
よって $y = 2 \cdot 1 = 2$ 。

確かめ： $x = 1, y = 2$ をもとの式に代入すると
$(k + 2) \cdot 1 + (2 k - 1) \cdot 2 - 5 k = k + 2 + 4 k - 2 - 5 k = 0$
となり、 $k$ の値によらず成り立ちます。

したがって、求める定点の座標は $(1, 2)$ です。

別解

与式を $k$ について整理すると $k (x + 2 y - 5) + (2 x - y) = 0$ となる。これが $k$ の値によらず成り立つためには、 $x + 2 y - 5 = 0$ かつ $2 x - y = 0$ が必要十分である。
第2式から $y = 2 x$ 。これを第1式に代入すると $x + 4 x - 5 = 0$ より $x = 1$ 、よって $y = 2$ 。
検算： $(1, 2)$ を代入すると $(k + 2) \cdot 1 + (2 k - 1) \cdot 2 - 5 k = k + 2 + 4 k - 2 - 5 k = 0$ となり、すべての $k$ で成り立つ。
したがって定点は $(1, 2)$ 。

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