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図形と方程式の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学II 図形と方程式

$k$ を実数の定数とする。直線
$(k + 2) x + (k - 1) y - 3 k = 0$
は、 $k$ の値にかかわらず定点を通る。この定点の座標を求めよ。

この問題で使うもの

定点を通る直線と2直線の交点を通る直線（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（16 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

「定点を通る直線」の技能を使います。 $k$ を含む方程式を $k$ について整理しましょう。

ヒント 2

式を $k (\dots) + (\dots) = 0$ の形にすると、 $k$ によらず成り立つのは両方のかっこの中が $0$ のときです。

ヒント 3

整理すると $k (x + y - 3) + (2 x - y) = 0$ となります。あとは $x + y - 3 = 0$ と $2 x - y = 0$ を連立して解きます。

答えと解説

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(1, 2)

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解説を読む

方針： $k$ を含む直線の方程式を $k$ について整理し、「 $k$ についての恒等式」とみて定点を求めます。

手順 1： $k$ について整理する

左辺を展開すると
$k x + 2 x + k y - y - 3 k = 0$
$k$ を含む項と含まない項に分けてまとめると
$k (x + y - 3) + (2 x - y) = 0 (1)$

手順 2： $k$ によらず成り立つ条件を考える

点 $(x, y)$ が $k$ の値にかかわらず $(1)$ を満たすのは、 $(1)$ が $k$ についての恒等式になるとき、つまり $k$ の係数と定数項がともに $0$ になるときです。よって
$x + y - 3 = 0 (2), 2 x - y = 0 (3)$

手順 3：連立方程式を解く

$(2) + (3)$ より $3 x - 3 = 0$ 、よって $x = 1$ 。 $(3)$ に代入して $y = 2 x = 2$ 。

確かめ： $x = 1, y = 2$ を元の式の左辺に代入すると
$(k + 2) \cdot 1 + (k - 1) \cdot 2 - 3 k = k + 2 + 2 k - 2 - 3 k = 0$
となり、どの $k$ でも成り立ちます。

なお、この直線は 2 直線 $x + y - 3 = 0$ と $2 x - y = 0$ の交点を通る直線を $f + k g = 0$ の形で表したものになっています。

したがって、求める定点の座標は $(1, 2)$ です。

別解

与式を $k$ について整理すると $k (x + y - 3) + (2 x - y) = 0$ 。これが任意の実数 $k$ について成り立つ条件は $x + y - 3 = 0$ かつ $2 x - y = 0$ 。第2式より $y = 2 x$ 、これを第1式に代入すると $3 x - 3 = 0$ より $x = 1$ 、 $y = 2$ 。よって定点は $(1, 2)$ 。検算： $(k + 2) \cdot 1 + (k - 1) \cdot 2 - 3 k = k + 2 + 2 k - 2 - 3 k = 0$ となり、 $k$ によらず成り立つ。

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