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図形と方程式の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学II 図形と方程式

座標平面上の $2$ 点 $A (- 1, 4)$ , $B (3, 1)$ を通る直線の方程式を求め、
$a x + b y + c = 0$
の形で表す。ただし、 $a, b, c$ は整数で、 $a > 0$ とし、 $a, b, c$ の最大公約数は $1$ とする。このとき、 $a, b, c$ の値を組 $(a, b, c)$ の形で求めよ。

A (- 1, 4)

B (3, 1)

x

y

O

この問題で使うもの

直線の方程式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（15 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

技能「直線の方程式」を使います。まず 2 点から傾きを求め、次に 1 点と傾きの式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ に当てはめましょう。

ヒント 2

傾きは $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ で求められます。式を作ったら、分母を払ってすべての項を左辺に集めると $a x + b y + c = 0$ の形になります。

ヒント 3

傾きは $m = \frac{1 - 4}{3 - ( - 1 )} = - \frac{3}{4}$ です。点 $A$ を使うと $y - 4 = - \frac{3}{4} (x + 1)$ となります。この両辺に $4$ を掛けて整理しましょう。

答えと解説

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(3, 4, - 13)

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解説を読む

手順 1：傾きを求める。

$2$ 点 $(x_{1}, y_{1})$ , $(x_{2}, y_{2})$ （ $x_{1} \neq = x_{2}$ ）を通る直線の傾きは $\frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ です。 $A$ と $B$ の $x$ 座標は異なるので、傾き $m$ は
$m = \frac{1 - 4}{3 - ( - 1 )} = \frac{- 3}{4} = - \frac{3}{4}$

手順 2：1 点と傾きの式に代入する。

点 $(x_{1}, y_{1})$ を通り傾き $m$ の直線は $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ です。点 $A (- 1, 4)$ を使うと
$y - 4 = - \frac{3}{4} {x - (- 1)}$
すなわち
$y - 4 = - \frac{3}{4} (x + 1)$

手順 3：一般形に直す。

両辺に $4$ を掛けて分母を払うと
$4 y - 16 = - 3 (x + 1) = - 3 x - 3$
右辺の項を左辺に移すと
$3 x + 4 y - 13 = 0$
$x$ の係数 $3$ は正で、 $3, 4, - 13$ の最大公約数は $1$ なので、条件を満たしています。

確かめ： $A (- 1, 4)$ を代入すると $- 3 + 16 - 13 = 0$ 、 $B (3, 1)$ を代入すると $9 + 4 - 13 = 0$ となり、どちらも成り立ちます。

よって $(a, b, c) = (3, 4, - 13)$ です。

別解

直線 AB の傾きは $\frac{1 - 4}{3 - ( - 1 )} = - \frac{3}{4}$ 。点 B(3,1) を通るので $y - 1 = - \frac{3}{4} (x - 3)$ 。両辺を 4 倍して $4 y - 4 = - 3 x + 9$ より $3 x + 4 y - 13 = 0$ 。よって $(a, b, c) = (3, 4, - 13)$ 。a=3>0 で、3, 4, -13 の最大公約数は 1。検算: A(-1,4) を代入すると $- 3 + 16 - 13 = 0$ 、B(3,1) を代入すると $9 + 4 - 13 = 0$ で、ともに成り立つ。

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