図形と方程式の問題

円の方程式は、中心 $(a,b)$ と半径 $r$ がわかれば $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ と書けます。そこで、まず中心と半径を求めます。

中心 線分 $\mathrm{AB}$ が直径なので、円の中心は線分 $\mathrm{AB}$ の中点です。
$$\left(\frac{1+5}{2},\frac{2+(-4)}{2}\right)=(3,-1)$$

半径 半径は中心 $(3,-1)$ と点 $\mathrm{A}(1,2)$ の距離です。
$$r=\sqrt{(1-3{)}^2+(2-(-1){)}^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$$
したがって $r^2=13$ です。

円の方程式 中心 $(3,-1)$、半径 $\sqrt{13}$ の円の方程式は
$$(x-3{)}^2+(y+1{)}^2=13$$
です。これを展開すると
$$x^2-6x+9+y^2+2y+1=13$$
$$x^2+y^2-6x+2y-3=0$$
となります。

確かめ 点 $\mathrm{A}(1,2)$ を代入すると $1+4-6+4-3=0$ です。点 $\mathrm{B}(5,-4)$ を代入すると $25+16-30-8-3=0$ です。どちらも円上にあることが確かめられます。

よって $l=-6$, $m=2$, $n=-3$ となり、答えは $(l,m,n)=(-6,2,-3)$ です。

線分 AB を直径とする円の方程式は、円周上の点 P(x,y) について $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=0$ より $(x-1)(x-5)+(y-2)(y+4)=0$。
展開すると $x^2-6x+5+y^2+2y-8=0$、すなわち $x^2+y^2-6x+2y-3=0$。
よって $l=-6,m=2,n=-3$。
検算：中心は AB の中点 $(3,-1)$、半径の2乗は $\frac{(5-1{)}^2+(-4-2{)}^2}{4}=\frac{16+36}{4}=13$。$(x-3{)}^2+(y+1{)}^2=13$ を展開すると $x^2+y^2-6x+2y+9+1-13=0$ で $n=-3$ となり一致。A(1,2) を代入すると $1+4-6+4-3=0$、B(5,-4) を代入すると $25+16-30-8-3=0$ で成り立つ。