図形と方程式の問題

方針：中心と半径がわかれば、円の方程式は $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ と書けます。直径の両端が与えられているので、中心は線分 $\mathrm{AB}$ の中点、半径は中心から $\mathrm{A}$ までの距離です。

1. 中心を求める

中心は線分 $\mathrm{AB}$ の中点なので
$$\left(\frac{1+5}{2},\frac{2+(-4)}{2}\right)=(3,-1)$$

2. 半径を求める

半径 $r$ は中心 $(3,-1)$ と点 $\mathrm{A}(1,2)$ の距離なので
$$r^2=(1-3{)}^2+(2-(-1){)}^2=4+9=13$$
（$r=\sqrt{13}$ ですが、方程式に使うのは $r^2=13$ です。）

3. 円の方程式を書く

中心 $(3,-1)$、半径 $\sqrt{13}$ の円の方程式は
$$(x-3{)}^2+(y+1{)}^2=13$$

4. 一般形に直す

左辺を展開すると
$$x^2-6x+9+y^2+2y+1=13$$
整理して
$$x^2+y^2-6x+2y-3=0$$

よって $l=-6$, $m=2$, $n=-3$ であり、答えは $(l,m,n)=(-6,2,-3)$ です。

（確認：$\mathrm{A}(1,2)$ を代入すると $1+4-6+4-3=0$、$\mathrm{B}(5,-4)$ を代入すると $25+16-30-8-3=0$ となり、どちらも円の上にあります。）

線分ABを直径とする円の方程式は、円周上の点を P(x, y) として AP と BP が垂直という条件から、$(x-1)(x-5)+(y-2)(y+4)=0$。展開すると $x^2-6x+5+y^2+2y-8=0$、つまり $x^2+y^2-6x+2y-3=0$。よって $l=-6$, $m=2$, $n=-3$。
検算：中心は AB の中点 $(3,-1)$、半径${}^2$ は $\frac{(5-1{)}^2+(-4-2{)}^2}{4}=\frac{16+36}{4}=13$。$(x-3{)}^2+(y+1{)}^2=13$ を展開すると $x^2-6x+9+y^2+2y+1-13=0$、すなわち $x^2+y^2-6x+2y-3=0$ で一致する。A(1,2) を代入すると $1+4-6+4-3=0$、B(5,-4) を代入すると $25+16-30-8-3=0$ で、ともに成り立つ。