図形と方程式の問題

動点を $\mathrm{P}(x,y)$ とおき、与えられた条件を $x$, $y$ の式で表す。

2 点間の距離の公式より
$${\mathrm{PA}}^2=(x-1{)}^2+(y-3{)}^2,{\mathrm{PB}}^2=(x-5{)}^2+(y-1{)}^2$$
である。条件 ${\mathrm{PA}}^2-{\mathrm{PB}}^2=8$ に代入すると
$$(x-1{)}^2+(y-3{)}^2-\{(x-5{)}^2+(y-1{)}^2\}=8$$

左辺を展開して整理する。$x$ の部分は
$$(x-1{)}^2-(x-5{)}^2=(x^2-2x+1)-(x^2-10x+25)=8x-24$$
$y$ の部分は
$$(y-3{)}^2-(y-1{)}^2=(y^2-6y+9)-(y^2-2y+1)=-4y+8$$
となり、$x^2$ と $y^2$ は消える。よって
$$8x-24-4y+8=8$$
$$8x-4y-24=0$$
両辺を $4$ で割って $2x-y-6=0$、すなわち
$$y=2x-6$$

ここで行った式の変形はすべて同値な変形なので、逆に直線 $y=2x-6$ 上のどの点 $\mathrm{P}$ も条件 ${\mathrm{PA}}^2-{\mathrm{PB}}^2=8$ を満たす。したがって点 $\mathrm{P}$ の軌跡は直線 $y=2x-6$ である。

(確認: 直線上の点 $(3,0)$ では ${\mathrm{PA}}^2=4+9=13$, ${\mathrm{PB}}^2=4+1=5$ で、差は $8$ となり条件を満たす。)

よって $a=2$, $b=-6$ であり、答えは $(a,b)=(2,-6)$ である。

P(x,y) とおく。PA^2=(x-1)^2+(y-3)^2, PB^2=(x-5)^2+(y-1)^2。
差は (x^2-2x+1+y^2-6y+9)-(x^2-10x+25+y^2-2y+1)=8x-4y-16。
これが 8 に等しいので 8x-4y-16=8、すなわち 4y=8x-24、y=2x-6。
検算：P(3,0) を代入すると PA^2=4+9=13, PB^2=4+1=5 で差 8。成り立つ。したがって (a,b)=(2,-6)。