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図形と方程式の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学II 図形と方程式

座標平面上に 2 点 $A (- 1, 5)$ , $B (2, - 1)$ がある。2 点 $A$ , $B$ を通る直線の方程式を $2 x + b y + c = 0$ の形で表すとき、定数 $b$ , $c$ の値を組 $(b, c)$ の形で求めよ。

A (- 1, 5)

B (2, - 1)

x

y

O

この問題で使うもの

直線の方程式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（15 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「直線の方程式」を使います。まず 2 点から傾きを求め、次に 1 点と傾きから $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の形の式をつくります。

ヒント 2

傾きは $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ で求められます。式ができたら、すべての項を左辺に移して $x$ の係数が $2$ になる形に整えます。

ヒント 3

傾きは $m = \frac{- 1 - 5}{2 - ( - 1 )} = - 2$ です。点 $A$ を使うと $y - 5 = - 2 (x + 1)$ となります。

答えと解説

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(1, - 3)

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解説を読む

手順 1: 傾きを求める。

2 点 $A (- 1, 5)$ , $B (2, - 1)$ の $x$ 座標は異なるので、直線 $AB$ は $x$ 軸に垂直ではなく、傾き $m$ は
$m = \frac{- 1 - 5}{2 - ( - 1 )} = \frac{- 6}{3} = - 2$

手順 2: 1 点と傾きから方程式をつくる。

点 $(x_{1}, y_{1})$ を通り傾き $m$ の直線は $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ である。点 $A (- 1, 5)$ を通り傾き $- 2$ なので
$y - 5 = - 2 {x - (- 1)}$
$y - 5 = - 2 x - 2$
$y = - 2 x + 3$

（確認： $x = 2$ のとき $y = - 4 + 3 = - 1$ となり、点 $B$ も通る。）

手順 3: 一般形 $a x + b y + c = 0$ に直す。

すべての項を左辺に移すと
$2 x + y - 3 = 0$
$x$ の係数が $2$ になっているので、これが求める形である。よって $b = 1$ , $c = - 3$ で、
$(b, c) = (1, - 3)$

別解

直線ABの傾きは $\frac{- 1 - 5}{2 - ( - 1 )} = \frac{- 6}{3} = - 2$ である。点A $(- 1, 5)$ を通るので $y - 5 = - 2 (x + 1)$ 、すなわち $y = - 2 x + 3$ となる。これを $2 x + y - 3 = 0$ と変形すると、 $2 x + b y + c = 0$ の形で $b = 1$ , $c = - 3$ を得る。
検算：A: $2 (- 1) + 5 - 3 = 0$ 、B: $2 \cdot 2 + (- 1) - 3 = 0$ となり、ともに成り立つ。

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