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図形と方程式の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学II 図形と方程式

座標平面上に、点 $A (3, - 1)$ と直線 $l : 3 x - 2 y + 4 = 0$ がある。点 $A$ を通り、直線 $l$ に垂直な直線の方程式を $y = m x + n$ の形で表すとき、その右辺 $m x + n$ を求めよ。

A (3, - 1)

x

y

O

l

この問題で使うもの

2直線の平行・垂直（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（35 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

2 直線の垂直の条件「傾きの積が $- 1$ （ $m_{1} m_{2} = - 1$ ）」を使います。まず直線 $l$ の傾きを調べましょう。

ヒント 2

$3 x - 2 y + 4 = 0$ を $y = \dots$ の形に直すと傾きがわかります。求める直線の傾きを $m$ として $\frac{3}{2} m = - 1$ を解きます。

ヒント 3

求める直線の傾きは $- \frac{2}{3}$ です。あとは点 $A (3, - 1)$ を通ることから $y - (- 1) = - \frac{2}{3} (x - 3)$ を整理します。

答えと解説

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- \frac{2}{3} x + 1

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解説を読む

手順 1：直線 $l$ の傾きを求める。

$3 x - 2 y + 4 = 0$ を $y$ について解くと
$2 y = 3 x + 4 より y = \frac{3}{2} x + 2$
となるので、直線 $l$ の傾きは $\frac{3}{2}$ である。

手順 2：垂直の条件から、求める直線の傾きを求める。

求める直線の傾きを $m$ とすると、2 直線が垂直であるための条件は、傾きの積が $- 1$ になることである。
$\frac{3}{2} \cdot m = - 1 より m = - \frac{2}{3}$

手順 3：1 点と傾きから直線の方程式を求める。

点 $A (3, - 1)$ を通り、傾き $- \frac{2}{3}$ の直線の方程式は
$y - (- 1) = - \frac{2}{3} (x - 3)$
$y + 1 = - \frac{2}{3} x + 2$
$y = - \frac{2}{3} x + 1$

よって、求める右辺は $- \frac{2}{3} x + 1$ である。

（確認： $\frac{3}{2} \times (- \frac{2}{3}) = - 1$ なので垂直であり、 $x = 3$ のとき $y = - 2 + 1 = - 1$ なので点 $A$ を通る。）

別解

直線 $l : 3 x - 2 y + 4 = 0$ は $y = \frac{3}{2} x + 2$ なので、傾きは $\frac{3}{2}$ 。
垂直な直線の傾き $m$ は、傾きの積が $- 1$ より $m = - \frac{2}{3}$ 。
点 $A (3, - 1)$ を通るので $y + 1 = - \frac{2}{3} (x - 3)$ 、すなわち $y = - \frac{2}{3} x + 2 - 1 = - \frac{2}{3} x + 1$ 。
検算: $x = 3$ のとき $y = - 2 + 1 = - 1$ で A を通る。傾きの積は $\frac{3}{2} \cdot (- \frac{2}{3}) = - 1$ で垂直。
よって $m x + n = - \frac{2}{3} x + 1$ 。

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