図形と方程式の問題

手順1：直線 $\ell$ の傾きを求める

$3x-2y+4=0$ を $y$ について解きます。
$$2y=3x+4\text{より}y=\frac{3}{2}x+2$$
よって、直線 $\ell$ の傾きは $m_1=\frac{3}{2}$ です。

手順2：垂直の条件から、求める直線の傾きを求める

2直線が垂直であるとき、傾きの積は $-1$ になります。求める直線の傾きを $m_2$ とすると
$$m_1{m}_2=-1\text{より}\frac{3}{2}{m}_2=-1$$
よって $m_2=-\frac{2}{3}$ です。

手順3：点 $\mathrm{A}$ を通る直線の方程式を求める

点 $(x_1,y_1)$ を通り傾き $m$ の直線は $y-y_1=m(x-x_1)$ なので、点 $\mathrm{A}(2,-1)$ を通り傾き $-\frac{2}{3}$ の直線は
$$y-(-1)=-\frac{2}{3}(x-2)$$
$$y+1=-\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}$$
$$y=-\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}-1$$
$$y=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}$$

確かめ

$x=2$ を代入すると $y=-\frac{4}{3}+\frac{1}{3}=-1$ となり、点 $\mathrm{A}$ を通っています。また、傾きの積は $\frac{3}{2}\times \left(-\frac{2}{3}\right)=-1$ なので、直線 $\ell$ に垂直です。

したがって、答えは $-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}$ です。

直線 $\ell :3x-2y+4=0$ を変形すると $y=\frac{3}{2}x+2$ なので、傾きは $\frac{3}{2}$。垂直な直線の傾き $m$ は $\frac{3}{2}m=-1$ より $m=-\frac{2}{3}$。点 $\mathrm{A}(2,-1)$ を通るので $y+1=-\frac{2}{3}(x-2)$、すなわち $y=-\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}-1=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}$。検算：$x=2$ のとき $y=-\frac{4}{3}+\frac{1}{3}=-1$ で点Aを通る。傾きの積は $\frac{3}{2}\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)=-1$ で垂直。