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図形と方程式の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学II 図形と方程式

座標平面上に、点 $A (2, 5)$ と直線 $l : 3 x + 2 y - 6 = 0$ がある。点 $A$ を通り、直線 $l$ に垂直な直線の方程式を $y = m x + n$ の形で求めよ。

A (2, 5)

x

y

O

l

図は正確とは限りません

この問題で使うもの

2直線の平行・垂直（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（35 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

「2直線の平行・垂直」の技能を使います。まず直線 $l$ の傾きを求め、垂直な直線の傾きを傾きの条件から決めましょう。

ヒント 2

$l$ の式を $y = \dots$ の形に直すと傾きがわかります。垂直な 2 直線の傾き $m_{1}, m_{2}$ は $m_{1} m_{2} = - 1$ をみたします。

ヒント 3

$l$ の傾きは $- \frac{3}{2}$ なので、求める直線の傾きは $\frac{2}{3}$ です。あとは点 $(2, 5)$ を通る直線の式 $y - 5 = \frac{2}{3} (x - 2)$ を整理します。

答えと解説

答えを見る

\frac{2}{3} x + \frac{11}{3}

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解説を読む

直線 $l$ の傾きを求める

$3 x + 2 y - 6 = 0$ を $y$ について解くと
$2 y = - 3 x + 6 より y = - \frac{3}{2} x + 3$
となるので、直線 $l$ の傾きは $- \frac{3}{2}$ です。

垂直の条件を使う

求める直線の傾きを $m$ とします。2 直線が垂直であるための条件は、傾きの積が $- 1$ になることなので
$- \frac{3}{2} \cdot m = - 1 より m = \frac{2}{3}$
です。

点 $A$ を通る直線の方程式を求める

点 $(2, 5)$ を通り傾き $\frac{2}{3}$ の直線なので
$y - 5 = \frac{2}{3} (x - 2)$
$y = \frac{2}{3} x - \frac{4}{3} + 5 = \frac{2}{3} x + \frac{11}{3}$

（確認: $x = 2$ のとき $y = \frac{4}{3} + \frac{11}{3} = 5$ となり、点 $A$ を通っています。）

よって、求める直線は $y = \frac{2}{3} x + \frac{11}{3}$ です。

別解

直線 $l : 3 x + 2 y - 6 = 0$ は $y = - \frac{3}{2} x + 3$ と変形でき、傾きは $- \frac{3}{2}$ である。
垂直な直線の傾きを $m$ とすると、傾きの積が $- 1$ なので $- \frac{3}{2} \cdot m = - 1$ より $m = \frac{2}{3}$ 。
点 A(2, 5) を通るので $y - 5 = \frac{2}{3} (x - 2)$ 、すなわち $y = \frac{2}{3} x - \frac{4}{3} + 5 = \frac{2}{3} x + \frac{11}{3}$ 。
検算： $x = 2$ のとき $y = \frac{4}{3} + \frac{11}{3} = 5$ で A を通る。法線ベクトル $(3, 2)$ が方向ベクトル $(3, 2)$ と平行で、この直線の方向ベクトルは $(1, \frac{2}{3}) ∥ (3, 2)$ となり、 $l$ に垂直であることが確かめられる。

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