図形と方程式の問題

方針 接点の座標を直接求めなくても、接線の公式から直線 $\mathrm{QR}$ の方程式がすぐに得られる。

円 $C$ の中心は $(1,2)$、半径は $\sqrt{5}$ である。点 $\mathrm{P}$ と中心の距離の 2 乗は $(4-1{)}^2+(3-2{)}^2=10>5$ なので、$\mathrm{P}$ は円の外にあり、接線は 2 本引ける。

接点を $\mathrm{Q}(x_1,y_1)$, $\mathrm{R}(x_2,y_2)$ とする。$\mathrm{Q}$ における接線は
$$(x_1-1)(x-1)+(y_1-2)(y-2)=5$$
であり、これが $\mathrm{P}(4,3)$ を通るから
$$(x_1-1)(4-1)+(y_1-2)(3-2)=5\text{すなわち}3(x_1-1)+(y_1-2)=5(1)$$
同様に、$\mathrm{R}$ における接線も $\mathrm{P}$ を通るから
$$3(x_2-1)+(y_2-2)=5(2)$$
$(1)$, $(2)$ は、2 点 $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$ がともに直線
$$3(x-1)+(y-2)=5$$
上にあることを示している。異なる 2 点を通る直線はただ 1 つなので、これが直線 $\mathrm{QR}$ である。

整理すると $3x-3+y-2=5$ より
$$y=-3x+10$$

（確かめ）$y=-3x+10$ を円の方程式に代入すると $(x-1{)}^2+(8-3x{)}^2=5$、すなわち $10x^2-50x+60=0$、$x^2-5x+6=0$ より $x=2,3$。接点は $(2,4)$, $(3,1)$ で、たとえば $(2,4)$ における接線 $(x-1)+2(y-2)=5$ は $\mathrm{P}(4,3)$ を通る（$3+2=5$）。

よって、直線 $\mathrm{QR}$ の方程式は $y=-3x+10$ である。

点 $\mathrm{P}(4,3)$ は円 $C$ の外部にある。円の中心は $(1,2)$、半径は $\sqrt{5}$ であり、中心と P の距離の2乗は $3^2+1^2=10>5$ なので外部と確認できる。

接点を通る直線（極線）の方程式は、$(x_0-1)(x-1)+(y_0-2)(y-2)=5$ に $(x_0,y_0)=(4,3)$ を代入して得られる。
$3(x-1)+1\cdot (y-2)=5$
$3x-3+y-2=5$
$y=-3x+10$

検算として、円と直線の交点を求める。$y=-3x+10$ を円の式に代入すると $(x-1{)}^2+(8-3x{)}^2=5$。展開して $x^2-2x+1+9x^2-48x+64=5$ より $10x^2-50x+60=0$、すなわち $x^2-5x+6=0$ で $x=2,3$。接点は $(2,4)$ と $(3,1)$ となる。
接線の確認：Q$(2,4)$ では $\overrightarrow{\mathrm{CQ}}=(1,2)$、$\overrightarrow{\mathrm{QP}}=(2,-1)$ で内積は $2-2=0$ となり垂直。R$(3,1)$ では $\overrightarrow{\mathrm{CR}}=(2,-1)$、$\overrightarrow{\mathrm{RP}}=(1,2)$ で内積は $2-2=0$ となり垂直。よって正しい。

したがって直線 QR は $y=-3x+10$ である。