図形と方程式の問題

点 $\mathrm{Q}$ の座標を $(s,t)$、中点 $\mathrm{P}$ の座標を $(x,y)$ とおく。

手順1：Q の満たす式を書く。 $\mathrm{Q}$ は放物線 $y=x^2+2$ 上にあるので
$$t=s^2+2(1)$$

手順2：P の座標を s, t で表す。 $\mathrm{P}$ は $\mathrm{A}(4,0)$ と $\mathrm{Q}(s,t)$ を結ぶ線分の中点なので
$$x=\frac{4+s}{2},y=\frac{0+t}{2}$$

手順3：s, t を x, y で表す。 これを $s,t$ について解くと
$$s=2x-4,t=2y$$

手順4：(1) に代入する。
$$2y=(2x-4{)}^2+2$$
$$2y=4x^2-16x+16+2=4x^2-16x+18$$
$$y=2x^2-8x+9$$

手順5：逆を確かめる。 逆に、放物線 $y=2x^2-8x+9$ 上の任意の点 $(x,y)$ に対して $s=2x-4,t=2y$ とおくと、$t=4x^2-16x+18=(2x-4{)}^2+2=s^2+2$ となる。よって $\mathrm{Q}(s,t)$ はもとの放物線上にあり、$(x,y)$ は線分 $\mathrm{AQ}$ の中点になっている。

$s$ はすべての実数をとるので $x=\frac{4+s}{2}$ もすべての実数をとり、軌跡は放物線全体である。

したがって、求める軌跡は放物線 $y=2x^2-8x+9$（平方完成すると $y=2(x-2{)}^2+1$、頂点 $(2,1)$）であり、答えは $2x^2-8x+9$ である。

Q(s, t) とおくと t = s^2 + 2。中点 P(x, y) は x = (4 + s)/2, y = t/2 である。
よって s = 2x − 4, t = 2y。これを t = s^2 + 2 に代入すると 2y = (2x − 4)^2 + 2 = 4x^2 − 16x + 18。
ゆえに y = 2x^2 − 8x + 9 となる。
検算：Q(0, 2) のとき P(2, 1)。x = 2 を代入すると 8 − 16 + 9 = 1 で一致する。
また Q(4, 18) のとき P(4, 9)。x = 4 を代入すると 32 − 32 + 9 = 9 で一致する。
s は任意の実数をとれるので、x も任意の実数をとり、軌跡は放物線全体になる。