図形と方程式の問題

P が円の外部にあることの確認

原点 $\mathrm{O}$ と直線 $l:x+2y-10=0$ の距離は
$$\frac{|-10|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$$
です。これは半径 $\sqrt{5}$ より大きいので、$l$ 上のどの点 $\mathrm{P}$ も円 $C$ の外部にあります。したがって、どの $\mathrm{P}$ からも接線が 2 本引けます。

直線 AB の方程式

$\mathrm{P}(p,q)$ とおき、$\mathrm{A}(x_1,y_1)$, $\mathrm{B}(x_2,y_2)$ とします。$\mathrm{A}$ における $C$ の接線は $x_{1}x+y_{1}y=5$ です。これが $\mathrm{P}$ を通るので
$$x_{1}p+y_{1}q=5$$
が成り立ちます。同様に $x_{2}p+y_{2}q=5$ も成り立ちます。これらは、直線 $px+qy=5$ が $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ の両方を通ることを表しています。$\mathrm{A}\ne \mathrm{B}$ なので、直線 $\mathrm{AB}$ の方程式は
$$px+qy=5$$
です。

直線 AB が通る定点

$\mathrm{P}$ は $l$ 上にあるので、$p=10-2q$（$q$ は任意の実数）と書けます。直線 $\mathrm{AB}$ の方程式は
$$(10-2q)x+qy=5$$
となり、これを $q$ について整理すると
$$(10x-5)+q(y-2x)=0$$
です。$10x-5=0$ かつ $y-2x=0$ を満たす点、すなわち $\mathrm{Q}\left(\frac{1}{2},1\right)$ は、$q$ の値によらず直線 $\mathrm{AB}$ 上にあります。

距離の上限

直線 $\mathrm{AB}$ は常に $\mathrm{Q}$ を通ります。$\mathrm{R}$ から直線 $\mathrm{AB}$ に下ろした垂線の足を $\mathrm{H}$ とすると $\mathrm{RH}\le \mathrm{RQ}$ です。
$$\mathrm{RQ}=\sqrt{{\left(2-\frac{1}{2}\right)}^2+(3-1{)}^2}=\sqrt{\frac{9}{4}+4}=\frac{5}{2}$$
よって、距離は常に $\frac{5}{2}$ 以下です。等号は $\mathrm{AB}\perp \mathrm{RQ}$ のときに成り立ちます。

等号が成り立つ P の存在

直線 $\mathrm{RQ}$ の傾きは $\frac{3-1}{2-\frac{1}{2}}=\frac{4}{3}$ です。したがって、直線 $\mathrm{AB}$ の傾きが $-\frac{3}{4}$ になればよいことになります。

$q\ne 0$ のとき、直線 $\mathrm{AB}$ の傾きは $-\frac{10-2q}{q}$ です。これが $-\frac{3}{4}$ に等しいとすると
$$4(10-2q)=3q⟺40=11q⟺q=\frac{40}{11}$$
となり、$q\ne 0$ を満たします。このとき $p=10-\frac{80}{11}=\frac{30}{11}$ なので、$\mathrm{P}\left(\frac{30}{11},\frac{40}{11}\right)$ です。これは $l$ 上の点です。

確認のため、このときの直線 $\mathrm{AB}$ を求めます。$\frac{30}{11}x+\frac{40}{11}y=5$ の両辺に $\frac{11}{5}$ を掛けると $6x+8y=11$ です。$\mathrm{R}(2,3)$ との距離は
$$\frac{|12+24-11|}{\sqrt{36+64}}=\frac{25}{10}=\frac{5}{2}$$
となり、確かに上限の値に一致します。

以上より、求める最大値は $\frac{5}{2}$ です。

点 $\mathrm{P}(p,q)$ は $p+2q=10$ を満たす。直線 $\mathrm{AB}$ は $\mathrm{P}$ の極線で、$px+qy=5$ である。
$p=10-2q$ を代入すると $(10-2q)x+qy=5$、すなわち $10x-5+q(y-2x)=0$ となる。
これは $q$ によらず、$10x-5=0$ かつ $y-2x=0$ を満たす定点 $\mathrm{Q}\left(\frac{1}{2},1\right)$ を通る。

直線 $l$ は原点からの距離が $10/\sqrt{5}=2\sqrt{5}>\sqrt{5}$ なので、$\mathrm{P}$ はつねに円の外にあり、接線は 2 本引ける。

点 $\mathrm{R}$ と、$\mathrm{Q}$ を通る直線との距離は $\mathrm{RQ}$ 以下で、等号は直線が $\mathrm{RQ}$ に垂直なときに成り立つ。
$\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\left(\frac{3}{2},2\right)$ より $\mathrm{RQ}=\sqrt{\frac{9}{4}+4}=\frac{5}{2}$。

この垂直な直線は法線ベクトルが $(3,4)$ である。直線 $\mathrm{AB}$ の法線ベクトルは $(p,q)=(10-2q,q)$ なので、$4(10-2q)=3q$ より $q=\frac{40}{11}$ となる。このとき $p=\frac{30}{11}$ で、この $\mathrm{P}$ は直線 $l$ 上に存在する。

検算：$\mathrm{P}\left(\frac{30}{11},\frac{40}{11}\right)$ のとき $\mathrm{AB}$ は $30x+40y=55$、すなわち $6x+8y=11$。$\mathrm{R}$ からの距離は $|12+24-11|/10=\frac{25}{10}=\frac{5}{2}$ となり、一致する。

最大値は $\frac{5}{2}$。