この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

図形と方程式の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学II 図形と方程式

座標平面上に円 $C : x^{2} + y^{2} = 1$ と直線 $ℓ : 3 x + 4 y = 10$ がある。点 $P$ が直線 $ℓ$ 上を動くとき、 $P$ から円 $C$ に引いた 2 本の接線の接点を $A$ , $B$ とする。三角形 $P A B$ の面積の最小値を求めよ。

P

A

B

x

y

O

C

ℓ

点

P

の位置の一例

この問題で使うもの

点と直線の距離（説明と入口の問題）
円の接線（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（43 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$P$ の座標を直接使うより、 $O P = d$ の長さだけで三角形 $P A B$ の面積を表すことを考えましょう。

ヒント 2

$O A ⊥ P A$ と $A B ⊥ O P$ を使います。 $A B$ と $O P$ の交点を $H$ として、 $P A = d^{2} - 1$ 、 $A H = \frac{O A \cdot P A}{O P}$ 、 $P H = \frac{P A ^{2}}{O P}$ を求めてみましょう。

ヒント 3

$L = P A$ とおくと、面積は $S = \frac{L ^{3}}{L ^{2} + 1} = L (1 - \frac{1}{L ^{2} + 1})$ と表せます。これは $L$ について増加するので、 $d = O P$ が最小のとき、つまり $P$ が原点から $ℓ$ に下ろした垂線の足のときを考えればよいです。

答えと解説

答えを見る

\frac{3 3}{4}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

原点を $O$ とし、 $O P = d$ とおきます。

点 $P$ は円の外部にあること

原点 $O$ と直線 $ℓ$ の距離は
$\frac{∣3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 - 10∣}{3 ^{2} + 4 ^{2}} = \frac{10}{5} = 2$
です。よって $ℓ$ 上のどの点 $P$ についても $d ≧ 2 > 1$ となり、 $P$ は円 $C$ の外部にあります。したがって、 $P$ から接線を 2 本引くことができます。

面積を $d$ で表す

接線の性質から $O A ⊥ P A$ であり、 $O A = 1$ です。三平方の定理より
$P A = d^{2} - 1$
です。これを $L = d^{2} - 1$ とおきます。

図形は直線 $O P$ に関して対称なので、 $A B ⊥ O P$ です。 $A B$ と $O P$ の交点を $H$ とすると、 $H$ は $A B$ の中点です。

直角三角形 $O A P$ において、 $A H$ は斜辺 $O P$ への垂線です。面積を 2 通りに表すと $\frac{1}{2} \cdot O A \cdot P A = \frac{1}{2} \cdot O P \cdot A H$ なので
$A H = \frac{O A \cdot P A}{O P} = \frac{L}{d}$
です。また、三角形 $P A H$ と三角形 $P O A$ は相似なので $P A^{2} = P H \cdot P O$ が成り立ち、
$P H = \frac{P A ^{2}}{O P} = \frac{L ^{2}}{d}$
です。よって三角形 $P A B$ の面積 $S$ は
$S = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot P H = A H \cdot P H = \frac{L ^{3}}{d ^{2}} = \frac{L ^{3}}{L ^{2} + 1}$
となります。

$S$ の増減

$S$ を次のように変形します。
$S = L \cdot \frac{L ^{2}}{L ^{2} + 1} = L (1 - \frac{1}{L ^{2} + 1})$
$L > 0$ の範囲で、 $L$ も $1 - \frac{1}{L ^{2} + 1}$ も正で、 $L$ について増加します。正で増加する 2 つの関数の積なので、 $S$ は $L$ について増加します。

さらに $L = d^{2} - 1$ は $d$ について増加するので、 $S$ は $d$ について増加します。したがって、 $S$ は $d$ が最小のときに最小になります。

$d$ の最小値

$d$ の最小値は、原点と直線 $ℓ$ の距離 $2$ です。これは $P$ が原点から $ℓ$ に下ろした垂線の足のときに実現し、そのときの $P$ は $(\frac{6}{5}, \frac{8}{5})$ です。

最小値の計算

$d = 2$ のとき $L = 3$ なので
$S = \frac{( 3 ) ^{3}}{3 + 1} = \frac{3 3}{4}$
です。

検算

このとき $sin ∠ O P A = \frac{1}{2}$ より $∠ A P B = 6 0^{\circ}$ です。 $P A = P B = 3$ なので、三角形 $P A B$ は 1 辺 $3$ の正三角形になります。その面積 $\frac{3}{4} \cdot 3 = \frac{3 3}{4}$ は上の結果と一致します。

以上より、求める最小値は $\frac{3 3}{4}$ です。

別解

円 $C$ の中心を $O$ 、 $O P = d$ とおく。直線 $ℓ$ と原点の距離は $\frac{10}{5} = 2$ なので $d \geq 2$ である。
接線の長さは $t = d^{2} - 1$ 。
弦 $A B$ の長さは $A B = \frac{2 t}{d}$ である。これは、 $O P$ と $A B$ の交点を $H$ とすると $△ O A P$ の面積から $A H = \frac{1 \cdot t}{d}$ となるため。
また $O H = \frac{1}{d}$ なので、 $P$ から $A B$ までの距離は $P H = d - \frac{1}{d} = \frac{d ^{2} - 1}{d}$ である。
よって面積は
$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 t}{d} \cdot \frac{d ^{2} - 1}{d} = \frac{( d ^{2} - 1 ) ^{3/2}}{d ^{2}}$ 。
$u = d^{2} \geq 4$ とおき $g (u) = \frac{( u - 1 ) ^{3/2}}{u}$ とすると、
$g^{'} (u) = \frac{u - 1 ( \frac{u}{2} + 1 )}{u ^{2}} > 0$ 。
つまり $g$ は増加するので、最小は $u = 4$ のとき、すなわち $d = 2$ のときである。
このとき $S = \frac{3 3}{4}$ 。
$d = 2$ となる点は $P = (\frac{6}{5}, \frac{8}{5})$ で、 $ℓ$ 上にあるので実現可能である。
検算： $d = 2$ のとき $t = 3$ 、 $A B = 3$ 、 $P H = \frac{3}{2}$ なので $S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3 3}{4}$ 。

図形と方程式の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題