図形と方程式の問題

直線 AB の方程式 直線 AB の傾きは $\frac{2-4}{5-1}=-\frac{1}{2}$ なので
$$y-4=-\frac{1}{2}(x-1)$$
両辺を 2 倍して整理すると
$$x+2y-9=0$$

線分 AB の長さ
$$\mathrm{AB}=\sqrt{(5-1{)}^2+(2-4{)}^2}=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}$$

P と直線 AB の距離 P は $\ell$ 上にあるので $\mathrm{P}(t,2t-1)$（$t$ は実数）とおける。点と直線の距離の公式より、P と直線 $x+2y-9=0$ の距離 $d$ は
$$d=\frac{|t+2(2t-1)-9|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{|5t-11|}{\sqrt{5}}$$

面積の条件 三角形 PAB の面積は
$$\frac{1}{2}\cdot \mathrm{AB}\cdot d=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{5}\cdot \frac{|5t-11|}{\sqrt{5}}=|5t-11|$$
これが $14$ なので $|5t-11|=14$、すなわち
$$5t-11=14\text{または}5t-11=-14$$
よって $t=5$ または $t=-\frac{3}{5}$。

• $t=5$ のとき $\mathrm{P}(5,9)$ で、第 1 象限にある。
• $t=-\frac{3}{5}$ のとき $\mathrm{P}\left(-\frac{3}{5},-\frac{11}{5}\right)$ で、第 3 象限にあるので不適。

（確認）$\mathrm{P}(5,9)$ と直線 $x+2y-9=0$ の距離は $\frac{|5+18-9|}{\sqrt{5}}=\frac{14}{\sqrt{5}}$ で、面積は $\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{5}\cdot \frac{14}{\sqrt{5}}=14$ となり条件を満たす。

したがって $\mathrm{P}(5,9)$。

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(4,-2)$, $\mathrm{AB}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。直線 AB は $y-4=-\frac{1}{2}(x-1)$ より $x+2y-9=0$。

$\mathrm{P}(s,2s-1)$ とおく。P と直線 AB の距離は $\frac{|s+2(2s-1)-9|}{\sqrt{5}}=\frac{|5s-11|}{\sqrt{5}}$。

面積 $=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{5}\cdot \frac{|5s-11|}{\sqrt{5}}=|5s-11|=14$。

よって $5s-11=\pm 14$、$s=5$ または $s=-\frac{3}{5}$。

$s=5$: P$(5,9)$ は第 1 象限。
$s=-\frac{3}{5}$: $x<0$ なので第 1 象限ではない。

検算: P$(5,9)$ で $△$PAB $=\frac{1}{2}|(5-1)(2-4)-(5-1)(9-4)|$ ... ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(4,-2)$, $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=(4,5)$、外積 $4\cdot 5-(-2)\cdot 4=28$、面積 $14$ ✓。