図形と方程式の問題

$m$ の範囲 円 $C$ の中心 $\mathrm{O}(0,0)$ と直線 $mx-y-4m=0$ の距離が半径 $2$ より小さいことが条件なので
$$\frac{|-4m|}{\sqrt{m^2+1}}<2⟺16m^2<4m^2+4⟺m^2<\frac{1}{3}.$$

中点の座標 $y=m(x-4)$ を $x^2+y^2=4$ に代入すると
$$(1+m^2)x^2-8m^{2}x+16m^2-4=0.$$
2 つの交点の $x$ 座標の和は $\frac{8m^2}{1+m^2}$ なので、中点 $\mathrm{M}(X,Y)$ は
$$X=\frac{4m^2}{1+m^2},Y=m(X-4)=-\frac{4m}{1+m^2}.$$

$X,Y$ の関係
$$X^2+Y^2=\frac{16m^4+16m^2}{(1+m^2{)}^2}=\frac{16m^2}{1+m^2}=4X$$
より、$\mathrm{M}$ は円 $(X-2{)}^2+Y^2=4$ 上にある。（これは $\mathrm{OM}\perp \mathrm{AM}$、すなわち $\mathrm{OA}$ を直径とする円であることとも一致する。）

$X$ の範囲 $X=4-\frac{4}{1+m^2}$ であり、$0\leqq m^2<\frac{1}{3}$ より $1\leqq 1+m^2<\frac{4}{3}$ なので
$$0\leqq X<1.$$
逆に、円 $(X-2{)}^2+Y^2=4$ 上で $0\leqq X<1$ を満たす点 $(X,Y)$ に対しては、$X\ne 4$ なので $m=\frac{Y}{X-4}$ と定めると、その $m$ に対する中点がその点になる（$X=0$ のときは原点で $m=0$）。よって軌跡は、円 $(x-2{)}^2+y^2=4$ のうち $0\leqq x<1$ の部分である。

長さ $x=1$ のとき $y=\pm \sqrt{3}$。中心 $(2,0)$ から見ると、点 $(1,\sqrt{3})$ の方向は $x$ 軸の正の向きから $\frac{2}{3}\pi$、点 $(1,-\sqrt{3})$ の方向は $\frac{4}{3}\pi$ である。軌跡は $(0,0)$ を含む左側の弧なので、その中心角は
$$\frac{4}{3}\pi -\frac{2}{3}\pi =\frac{2}{3}\pi .$$
両端の点は含まれないが長さには影響しないので、求める長さは
$$2\cdot \frac{2}{3}\pi =\frac{4}{3}\pi .$$

原点を $\mathrm{O}$ とする。$\ell$ が $C$ と異なる 2 点で交わる条件は、$\mathrm{O}$ と $\ell :mx-y-4m=0$ の距離が半径 2 より小さいことで、$\frac{|4m|}{\sqrt{m^2+1}}<2$。両辺を 2 乗して $16m^2<4m^2+4$、よって $m^2<\frac{1}{3}$。

弦 PQ の中点 M は $\mathrm{O}$ から $\ell$ に下ろした垂線の足なので、$\angle \mathrm{OMA}=90^{\circ }$ （M=O のときも含む）。したがって M は $\mathrm{OA}$ を直径とする円 $(x-2{)}^2+y^2=4$ 上にある。

垂線の足を求めると $\mathrm{M}\left(\frac{4m^2}{m^2+1},\frac{-4m}{m^2+1}\right)$。$m^2<\frac{1}{3}$ のとき $x=4-\frac{4}{m^2+1}$ は $0\le x<1$ を動く（$m=0$ で $x=0$、$m^2\to \frac{1}{3}$ で $x\to 1$）。また $m$ が $-\frac{1}{\sqrt{3}}<m<\frac{1}{\sqrt{3}}$ を動くとき $y$ は連続的に正負の値をとり、原点を含む。

よって軌跡は円 $(x-2{)}^2+y^2=4$ のうち $x<1$ の部分（端点を除く弧）。$x=1$ のとき $y=\pm \sqrt{3}$。中心 $(2,0)$ から見て点 $(1,\pm \sqrt{3})$ は中心角 $120^{\circ }$ だけ原点側に張る弧の端点である（ベクトル $(-1,\sqrt{3})$ と $(-1,-\sqrt{3})$ のなす角は $\cos \theta =\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}$ より $120^{\circ }$）。

弧の長さは $2\cdot \frac{2\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}$。

検算: $m=0$ で M は $(0,0)$ で円上、$m^2=\frac{1}{3}$ の極限では $x=1,y=\mp \sqrt{3}$ で $(1-2{)}^2+3=4$ を満たす。