図形と方程式の問題

円 $K$ の方程式を求める。

円 $K$ の方程式を $x^2+y^2+lx+my+n=0$ とおく。$3$ 点を通るので

$$\mathrm{A}:16+36+4l+6m+n=0\text{すなわち}4l+6m+n=-52(1)$$
$$\mathrm{B}:9+25-3l+5m+n=0\text{すなわち}-3l+5m+n=-34(2)$$
$$\mathrm{C}:16+4+4l-2m+n=0\text{すなわち}4l-2m+n=-20(3)$$

$(1)-(3)$ より $8m=-32$ なので $m=-4$。

$(1)-(2)$ より $7l+m=-18$ なので $7l=-14$、よって $l=-2$。

$(1)$ より $n=-52-4l-6m=-52+8+24=-20$。

よって円 $K$ は $x^2+y^2-2x-4y-20=0$ であり、これを変形すると

$$(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=25$$

となる。したがって、中心は $(1,2)$、半径は $5$ である。

直線 $\ell$ と円 $K$ の位置関係を調べる。

直線 $\ell$ は $y-1=k(x-8)$ であり、一般形に直すと

$$kx-y-8k+1=0$$

となる。中心 $(1,2)$ と $\ell$ の距離を $d$ とすると

$$d=\frac{|k\cdot 1-2-8k+1|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{|7k+1|}{\sqrt{k^2+1}}$$

である。円と直線が異なる $2$ 点で交わる条件は、$d<5$ である。両辺は $0$ 以上なので、$2$ 乗して同値な不等式に直すと

$$(7k+1{)}^2<25(k^2+1)$$
$$49k^2+14k+1<25k^2+25$$
$$24k^2+14k-24<0$$
$$12k^2+7k-12<0$$
$$(4k-3)(3k+4)<0$$

となる。よって

$$-\frac{4}{3}<k<\frac{3}{4}$$

(参考:$k=\frac{3}{4}$, $-\frac{4}{3}$ のとき、$\ell$ は点 $\mathrm{P}$ から円 $K$ に引いた接線になる。)

円 $K$ を $x^2+y^2+ax+by+c=0$ とおく。
A(4,6): $52+4a+6b+c=0$
B(-3,5): $34-3a+5b+c=0$
C(4,-2): $20+4a-2b+c=0$
A−C より $32+8b=0$ なので $b=-4$。
A−B より $18+7a+b=0$ なので $7a=-14$、$a=-2$。
C に代入して $20-8+8+c=0$ なので $c=-20$。
よって $K:x^2+y^2-2x-4y-20=0$、すなわち $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=25$。中心 $(1,2)$、半径 $5$。

直線 $\ell :y-1=k(x-8)$、すなわち $kx-y-8k+1=0$。
中心との距離は $d=\frac{|k-2-8k+1|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{|-7k-1|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{|7k+1|}{\sqrt{k^2+1}}$。
異なる2点で交わる条件は $d<5$ なので
$(7k+1{)}^2<25(k^2+1)$
$49k^2+14k+1<25k^2+25$
$24k^2+14k-24<0$
$12k^2+7k-12<0$
解は $\frac{-7-\sqrt{49+576}}{24}<k<\frac{-7+\sqrt{625}}{24}$ で、$\sqrt{625}=25$ より
$\frac{-7-25}{24}=-\frac{4}{3}$、$\frac{-7+25}{24}=\frac{3}{4}$。
よって $-\frac{4}{3}<k<\frac{3}{4}$。

検算：P から円への距離は $\sqrt{49+1}=\sqrt{50}>5$ なので P は円の外にある。接線の傾きは $k=3/4$ のとき、直線 $3x-4y-20=0$ と中心 $(1,2)$ の距離は $|3-8-20|/5=5$ で接する。$k=-4/3$ のとき、直線 $4x+3y-35=0$ と中心の距離は $|4+6-35|/5=5$ で接する。どちらも条件を満たす。