図形と方程式の問題

点 $(x_0,y_0)$ と直線 $ax+by+c=0$ の距離は $\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ である。直線 $l$ は $a=k,b=-1,c=-2k+3$ なので、$\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{k^2+1}$ である。

点 $\mathrm{A}(-1,1)$ と $l$ の距離 $d_{\mathrm{A}}$ は
$$d_{\mathrm{A}}=\frac{|k\cdot (-1)-1-2k+3|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{|2-3k|}{\sqrt{k^2+1}}$$
点 $\mathrm{B}(5,-1)$ と $l$ の距離 $d_{\mathrm{B}}$ は
$$d_{\mathrm{B}}=\frac{|5k-(-1)-2k+3|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{|3k+4|}{\sqrt{k^2+1}}$$

条件 $d_{\mathrm{A}}=2d_{\mathrm{B}}$ より、両辺に $\sqrt{k^2+1}(>0)$ を掛けて
$$|2-3k|=2|3k+4|$$
よって $2-3k=2(3k+4)$ または $2-3k=-2(3k+4)$ である。

(i) $2-3k=6k+8$ のとき、$-9k=6$ より $k=-\frac{2}{3}$。

(ii) $2-3k=-6k-8$ のとき、$3k=-10$ より $k=-\frac{10}{3}$。

どちらも実数で条件を満たす。

（確かめ）直線 $l$ は $k(x-2)-(y-3)=0$ と変形でき、$k$ によらず点 $(2,3)$ を通る傾き $k$ の直線である。$d_{\mathrm{A}}:d_{\mathrm{B}}=2:1$ となるのは、$l$ が線分 $\mathrm{AB}$ を $2:1$ に内分する点 $\left(\frac{1\cdot (-1)+2\cdot 5}{3},\frac{1\cdot 1+2\cdot (-1)}{3}\right)=\left(3,-\frac{1}{3}\right)$ または $2:1$ に外分する点 $\left(\frac{-1\cdot (-1)+2\cdot 5}{2-1},\frac{-1\cdot 1+2\cdot (-1)}{2-1}\right)=(11,-3)$ を通るときである。$(2,3)$ と $\left(3,-\frac{1}{3}\right)$ を通る直線の傾きは $\frac{-\frac{1}{3}-3}{3-2}=-\frac{10}{3}$、$(2,3)$ と $(11,-3)$ を通る直線の傾きは $\frac{-3-3}{11-2}=-\frac{2}{3}$ であり、上の結果と一致する。

以上より、求める $k$ の値は $k=-\frac{10}{3},-\frac{2}{3}$ である。

点 A(-1,1) と直線 $l:kx-y-2k+3=0$ の距離は $\frac{|-k-1-2k+3|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{|2-3k|}{\sqrt{k^2+1}}$。点 B(5,-1) との距離は $\frac{|5k+1-2k+3|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{|3k+4|}{\sqrt{k^2+1}}$。条件より $|2-3k|=2|3k+4|$。
(i) $2-3k=2(3k+4)$ のとき $2-3k=6k+8$ より $k=-\frac{2}{3}$。
(ii) $2-3k=-2(3k+4)$ のとき $2-3k=-6k-8$ より $3k=-10$ で $k=-\frac{10}{3}$。
検算: $k=-2/3$ のとき $|2+2|=4$, $|-2+4|=2$ で 4=2×2 となり成立。$k=-10/3$ のとき $|2+10|=12$, $|-10+4|=6$ で 12=2×6 となり成立。
なお、距離が両方 0 となる場合は $2-3k=0$ かつ $3k+4=0$ となり同時には起こらない。また直線 $l$ は $y-3=k(x-2)$ で、傾きをもつ直線のみ（$x=2$ は含まれない）だが、$k$ は実数の定数として問題ない。