図形と方程式の問題

円の中心と半径 $C$ の方程式を平方完成すると
$$(x^2-2ax+a^2)+(y^2+2y+1)-1-3=0$$
$$(x-a{)}^2+(y+1{)}^2=4$$
よって $C$ は中心 $(a,-1)$、半径 $2$ の円である。

中心と直線の距離 中心 $(a,-1)$ と直線 $3x+4y-6=0$ の距離 $d$ は
$$d=\frac{|3a+4\cdot (-1)-6|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|3a-10|}{5}$$

弦の長さ $C$ と $\ell$ が異なる 2 点で交わる条件は $d<2$ である。このとき、中心から $\ell$ に下ろした垂線の足は弦の中点になるので、三平方の定理より弦の長さ $L$ は
$$L=2\sqrt{2^2-d^2}=2\sqrt{4-d^2}$$

$L\geqq 2\sqrt{3}$ は $\sqrt{4-d^2}\geqq \sqrt{3}$、すなわち $4-d^2\geqq 3$、$d^2\leqq 1$、$d\leqq 1$ と同値である。$d\leqq 1$ なら $d<2$ も満たされるので、求める条件は $d\leqq 1$ だけでよい。

$a$ の範囲
$$\frac{|3a-10|}{5}\leqq 1⟺|3a-10|\leqq 5⟺-5\leqq 3a-10\leqq 5⟺5\leqq 3a\leqq 15$$
よって
$$\frac{5}{3}\leqq a\leqq 5$$

（確認）$a=5$ のとき中心 $(5,-1)$、$d=\frac{|15-10|}{5}=1$ で、弦の長さは $2\sqrt{4-1}=2\sqrt{3}$ となり条件を満たす。

円 $C$ は $(x-a{)}^2+(y+1{)}^2=4$ と変形でき、中心 $(a,-1)$、半径 $2$。

中心と直線 $3x+4y-6=0$ の距離は $d=\frac{|3a-4-6|}{5}=\frac{|3a-10|}{5}$。

異なる 2 点で交わる条件は $d<2$。弦の長さは $2\sqrt{4-d^2}$ なので、$2\sqrt{4-d^2}\geqq 2\sqrt{3}$ より $4-d^2\geqq 3$、$d^2\leqq 1$、すなわち $d\leqq 1$（このとき $d<2$ も満たされる）。

$|3a-10|\leqq 5$ より $-5\leqq 3a-10\leqq 5$、$5\leqq 3a\leqq 15$、$\frac{5}{3}\leqq a\leqq 5$。

検算: $a=5$ のとき $d=1$、弦 $=2\sqrt{3}$ ✓。$a=\frac{5}{3}$ のとき $d=\frac{|5-10|}{5}=1$ ✓。$a=3$ のとき $d=\frac{1}{5}$、弦 $=2\sqrt{4-1/25}>2\sqrt{3}$ ✓。