放物線の方程式と焦点・準線

焦点と準線からの距離が等しい点の軌跡として放物線を理解し、 $y^{2} = 4 p x$ や $x^{2} = 4 p y$ の焦点 $(p, 0)$ と準線 $x = - p$ を求められる。焦点・準線から方程式も作れる

前提

条件を満たす点の軌跡（数学II 図形と方程式）

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算数中学高校大学大学院

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説明

放物線を「1 点（焦点）と 1 本の直線（準線）から等しい距離にある点の集まり」としてとらえます。この見方を使うと、 $y^{2} = 4 p x$ や $x^{2} = 4 p y$ の形の式から焦点と準線を読み取れます。逆に、焦点と準線が与えられたときに放物線の方程式を作ることもできます。

なぜそうしてよいのか

定点 $F$ と、 $F$ を通らない直線 $ℓ$ があるとき、 $F$ までの距離と $ℓ$ までの距離が等しい点 $P$ の軌跡を放物線といいます。 $F$ を焦点、 $ℓ$ を準線と呼びます。点 $P$ と直線 $ℓ$ の距離とは、 $P$ から $ℓ$ に下ろした垂線の長さのことです。また、焦点を通り準線に垂直な直線を放物線の軸といい、放物線と軸の交点を頂点といいます。頂点は、焦点と「焦点から準線に下ろした垂線の足」とのちょうど真ん中にあります。

焦点を $F (p, 0)$ 、準線を $x = - p$ （ただし $p \neq = 0$ ）として、軌跡の方程式を求めてみます。動点を $P (x, y)$ とおきます。準線 $x = - p$ は $y$ 軸に平行なので、 $P$ から準線に下ろした垂線の足は $H (- p, y)$ です。よって $PH = ∣ x - (- p) ∣ = ∣ x + p ∣$ です。また $PF = (x - p)^{2} + y^{2}$ です。条件 $PF = PH$ の両辺はどちらも 0 以上なので、両辺を 2 乗した式と同じ条件になります。 $(x - p)^{2} + y^{2} = (x + p)^{2}$ 展開すると $x^{2} - 2 p x + p^{2} + y^{2} = x^{2} + 2 p x + p^{2}$ となり、整理して $y^{2} = 4 p x$ が得られます。つまり、 $y^{2} = 4 p x$ の放物線の焦点は $(p, 0)$ 、準線は $x = - p$ です。軸は $F$ を通り準線 $x = - p$ に垂直な直線なので $x$ 軸（ $y = 0$ ）です。式に $y = 0$ を代入すると $x = 0$ なので、頂点は原点です。 $p > 0$ なら右に開き、 $p < 0$ なら左に開きます。

$x$ と $y$ の役割を入れかえて、焦点 $(0, p)$ 、準線 $y = - p$ で同じ計算をすると $x^{2} = 4 p y$ になります。この放物線の軸は $y$ 軸、頂点は原点です。式の係数が「 $4 p$ 」になっているのがポイントで、係数を 4 で割ると焦点の位置を表す $p$ が出てきます。

手順

式の形を確認する。 $y^{2} = (数) x$ なら軸は $x$ 軸、 $x^{2} = (数) y$ なら軸は $y$ 軸。
1 次の項の係数を $4 p$ とみて $p$ を求める。 $p = \frac{係数}{4}$ （ $p$ は負になることもある）
$y^{2} = 4 p x$ なら焦点 $(p, 0)$ 、準線 $x = - p$ と答える。 $x^{2} = 4 p y$ なら焦点 $(0, p)$ 、準線 $y = - p$ と答える。
逆に焦点と準線から方程式を作るときは、焦点 $(p, 0)$ ・準線 $x = - p$ なら $y^{2} = 4 p x$ 、焦点 $(0, p)$ ・準線 $y = - p$ なら $x^{2} = 4 p y$ と書く。
焦点が原点から見て上の形にならない場合（準線は $x = a$ か $y = b$ の形に限る）は、 $P (x, y)$ とおき、準線までの距離を $x = a$ なら $∣ x - a ∣$ 、 $y = b$ なら $∣ y - b ∣$ として、 $PF^{2} = (準線までの距離)^{2}$ を整理する。例：焦点 $(1, 2)$ 、準線 $x = - 3$ なら $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = (x + 3)^{2}$ より $(y - 2)^{2} = 8 (x + 1)$ 。

例題

放物線 $y^{2} = 6 x$ の焦点の座標を求めよ。

例題の解答

【手順 1】式は $y^{2} = (数) x$ の形なので、 $y^{2} = 4 p x$ 型です。軸は $x$ 軸です。
【手順 2】 $4 p = 6$ より $p = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ です。
【手順 3】 $y^{2} = 4 p x$ の焦点は $(p, 0)$ なので、焦点は $(\frac{3}{2}, 0)$ です。あわせて、準線は $x = - \frac{3}{2}$ とわかります。
（確認）放物線上の点 $(6, 6)$ をとります（ $6^{2} = 36 = 6 \cdot 6$ なので確かに放物線上の点です）。焦点までの距離は $(6 - \frac{3}{2})^{2} + 6^{2} = \frac{81}{4} + \frac{144}{4} = \frac{225}{4} = \frac{15}{2}$ です。準線 $x = - \frac{3}{2}$ までの距離は $6 - (- \frac{3}{2}) = \frac{15}{2}$ で、2 つの距離は一致します。

答え: $(\frac{3}{2}, 0)$

よくある誤り

係数をそのまま $p$ としてしまう誤り。たとえば $y^{2} = 6 x$ の焦点を $(6, 0)$ とするのは誤りです。正しくは $4 p = 6$ から $p = \frac{3}{2}$ で、焦点は $(\frac{3}{2}, 0)$ です。
$x^{2} = 4 p y$ 型なのに焦点を $x$ 軸上にとってしまう誤り。たとえば $x^{2} = 8 y$ の焦点を $(2, 0)$ とするのは誤りです。正しくは $4 p = 8$ より $p = 2$ で、焦点 $(0, 2)$ 、準線 $y = - 2$ です。焦点は 2 乗されていない文字の軸上にあります。
準線の符号を焦点と同じにしてしまう誤り。たとえば $y^{2} = 4 x$ の準線を $x = 1$ とするのは誤りです。正しくは $x = - 1$ です。準線は、頂点（原点）をはさんで焦点と反対側にあります。
$p$ が負になる場合を考えない誤り。たとえば $y^{2} = - 8 x$ で「 $p = 2$ 、焦点 $(2, 0)$ 」とするのは誤りです。正しくは $4 p = - 8$ より $p = - 2$ で、焦点は $(- 2, 0)$ 、準線は $x = 2$ です。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

2 次曲線の平行移動（数学C 平面上の曲線）
2 次曲線と直線の共有点（数学C 平面上の曲線）
離心率と準線（数学C 平面上の曲線）