平面上の曲線の問題

楕円の焦点

$C:\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ において $a^2=25,b^2=9$ だから
$$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{25-9}=4$$
である。よって焦点は $\mathrm{F}(4,0)$、${\mathrm{F}}^{\prime }(-4,0)$ である。

放物線 $D$ の方程式

頂点が原点で焦点が $(4,0)$ の放物線は $y^2=4px$ で $p=4$ の場合である。したがって
$$D:y^2=16x$$
であり、その準線は $x=-4$ である。

共有点 $\mathrm{P}$ を求める

$C$ の方程式の両辺に $225$ を掛けると $9x^2+25y^2=225$ となる。ここに $y^2=16x$ を代入すると
$$9x^2+400x-225=0$$
を得る。判別式について $400^2+4\cdot 9\cdot 225=160000+8100=168100=410^2$ だから
$$x=\frac{-400\pm 410}{18}$$
となる。$D$ 上の点では $x=\frac{y^2}{16}\geqq 0$ なので $x=\frac{10}{18}=\frac{5}{9}$ である。

このとき $y^2=16\cdot \frac{5}{9}=\frac{80}{9}$ で、$y>0$ より $y=\frac{4\sqrt{5}}{3}$ となる。よって $\mathrm{P}\left(\frac{5}{9},\frac{4\sqrt{5}}{3}\right)$ である。

$\mathrm{PF}$ を求める

放物線の定義より、$\mathrm{PF}$ は $\mathrm{P}$ から準線 $x=-4$ までの距離に等しい。よって
$$\mathrm{PF}=\frac{5}{9}+4=\frac{41}{9}$$
である。

$\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }$ を求める

楕円の定義より $\mathrm{PF}+\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }=2a=10$ である。したがって
$$\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }=10-\frac{41}{9}=\frac{49}{9}$$
となる。

検算

2 点間の距離の公式で直接計算しても
$$\mathrm{P}{\mathrm{F}}^{\prime }=\sqrt{{\left(\frac{5}{9}+4\right)}^2+\frac{80}{9}}=\sqrt{\frac{1681+720}{81}}=\sqrt{\frac{2401}{81}}=\frac{49}{9}$$
となり、一致する。

答え: $\frac{49}{9}$

楕円 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ で $a=5,b=3,c=\sqrt{25-9}=4$。焦点は $F(4,0)$、$F^{\prime }(-4,0)$。
放物線 $D$ は頂点が原点、焦点が $F(4,0)$ なので $y^2=16x$。
共有点: $y^2=16x$ を楕円の式に代入すると $\frac{x^2}{25}+\frac{16x}{9}=1$。両辺に 225 を掛けて $9x^2+400x-225=0$。
解の公式より $x=\frac{-400\pm \sqrt{160000+8100}}{18}=\frac{-400\pm 410}{18}$。$x>0$ なので $x=\frac{10}{18}=\frac{5}{9}$。
これは $-5\le x\le 5$ を満たす。$y^2=16\cdot \frac{5}{9}=\frac{80}{9}$、$y>0$ より $y=\frac{4\sqrt{5}}{3}$。
$P\left(\frac{5}{9},\frac{4\sqrt{5}}{3}\right)$。
放物線の定義より $PF=x+4=\frac{41}{9}$。
楕円の性質より $PF+P{F}^{\prime }=2a=10$ なので $P{F}^{\prime }=10-\frac{41}{9}=\frac{49}{9}$。
検算: $P{F}^{\prime 2}={\left(\frac{5}{9}+4\right)}^2+\frac{80}{9}={\left(\frac{41}{9}\right)}^2+\frac{720}{81}=\frac{1681+720}{81}=\frac{2401}{81}$。$\sqrt{}=\frac{49}{9}$。一致。