平面上の曲線の問題

焦点の座標

楕円 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ では $a^2=25,b^2=16$ なので、$c^2=a^2-b^2=9$ より $c=3$ である。よって $F(3,0)$, $F^{\prime }(-3,0)$ である。

双曲線 $H$ の方程式

焦点が $x$ 軸上の $(\pm 3,0)$ なので、$H$ は $\frac{x^2}{p^2}-\frac{y^2}{q^2}=1(p>0,q>0)$ とおける。このとき
$$p^2+q^2=9$$
が成り立つ。漸近線は $y=\pm \frac{q}{p}x$ なので $\frac{q}{p}=\frac{\sqrt{5}}{2}$、すなわち $q^2=\frac{5}{4}{p}^2$ である。これを代入すると
$$p^2+\frac{5}{4}{p}^2=9\text{より}{p}^2=4,q^2=5$$
となる。よって $H:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$ である。

焦点からの距離

$P$ は楕円上にあるので、楕円の定義から
$$PF+P{F}^{\prime }=2\cdot 5=10(1)$$
である。また $P$ は双曲線 $H$ 上にあるので
$$|P{F}^{\prime }-PF|=2\cdot 2=4$$
である。$P$ は第 1 象限にあり、$F$ の方が $P$ に近いので $P{F}^{\prime }>PF$ となり、
$$P{F}^{\prime }-PF=4(2)$$
である。$(1)$, $(2)$ より $P{F}^{\prime }=7$, $PF=3$ となる。

(確認) 2 式を連立すると $P\left(\frac{10}{3},\frac{4\sqrt{5}}{3}\right)$ となる。
- $P{F}^2={\left(\frac{1}{3}\right)}^2+\frac{80}{9}=9$ より $PF=3$
- $P{F}^{\prime 2}={\left(\frac{19}{3}\right)}^2+\frac{80}{9}=\frac{441}{9}=49$ より $P{F}^{\prime }=7$

となり、上の結果と一致する。

余弦定理

$F{F}^{\prime }=6$ なので、$△PF{F}^{\prime }$ に余弦定理を用いると
$$\cos \angle FP{F}^{\prime }=\frac{P{F}^2+P{F}^{\prime 2}-F{F}^{\prime 2}}{2\cdot PF\cdot P{F}^{\prime }}=\frac{9+49-36}{2\cdot 3\cdot 7}=\frac{22}{42}=\frac{11}{21}$$

よって答えは $\frac{11}{21}$ である。

楕円 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ では $c^2=25-16=9$ より焦点は $F(3,0)$, $F^{\prime }(-3,0)$。
双曲線 $H$ を $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ とおくと、漸近線が $y=\pm \frac{\sqrt{5}}{2}x$ より $b/a=\sqrt{5}/2$、焦点より $a^2+b^2=9$。$b^2=\frac{5}{4}{a}^2$ なので $\frac{9}{4}{a}^2=9$ より $a^2=4$, $b^2=5$。よって $H:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$。

点 $P$ について、楕円より $PF+P{F}^{\prime }=10$、双曲線より $|PF-P{F}^{\prime }|=2a=4$。第1象限では $x>0$ なので $PF<P{F}^{\prime }$ となり、$P{F}^{\prime }-PF=4$。よって $P{F}^{\prime }=7$, $PF=3$。

余弦定理より、$F{F}^{\prime }=6$ なので
$\cos \angle FP{F}^{\prime }=\frac{3^2+7^2-6^2}{2\cdot 3\cdot 7}=\frac{9+49-36}{42}=\frac{22}{42}=\frac{11}{21}$。

検算：交点は $x^2/25+y^2/16=1$ と $x^2/4-y^2/5=1$ から $y^2=16(1-x^2/25)$ を代入して $x^2/4-\frac{16}{5}+\frac{16x^2}{125}=1$、すなわち $x^2(\frac{125+64}{500})=\frac{21}{5}$ より $x^2=\frac{2100}{189}=\frac{100}{9}$、$x=\frac{10}{3}$。$PF=a_e-ex$ の公式で、楕円の離心率 $3/5$ から $PF=5-\frac{3}{5}\cdot \frac{10}{3}=3$。一致する。