平面上の曲線の問題

方針 三角形 $\mathrm{PAB}$ の面積を直接 $\mathrm{P}$ の座標で計算すると複雑になる。$x$ 軸方向に縮小して楕円を円に変え、円の場合の面積を求めてから元に戻す。

円への変換 点 $(x,y)$ を点 $(X,Y)=\left(\frac{x}{2},y\right)$ に移す変換を考える。この変換で直線は直線に移り、楕円 $C$ は単位円 $X^2+Y^2=1$ に移る。共有点の個数は変わらないので、$C$ の接線は単位円の接線に、接点は接点に移る。また、$x$ 方向に $\frac{1}{2}$ 倍しているので、図形の面積は $\frac{1}{2}$ 倍になる。

$\mathrm{P}(p,q)$ の移る先を ${\mathrm{P}}^{\prime }\left(\frac{p}{2},q\right)$、$\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ の移る先を ${\mathrm{A}}^{\prime }$, ${\mathrm{B}}^{\prime }$ とし、
$$d^2={\mathrm{O}{\mathrm{P}}^{\prime }}^2=\frac{p^2}{4}+q^2$$
とおく。$\ell$ 上の点では $d>1$ である（後で $d^2\geqq 5$ がわかる）。

円の場合の面積 $\mathrm{O}{\mathrm{A}}^{\prime }\perp {\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{A}}^{\prime }$ より、接線の長さは $L={\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{A}}^{\prime }=\sqrt{d^2-1}$。${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$ と $\mathrm{O}{\mathrm{P}}^{\prime }$ の交点を $\mathrm{M}$ とすると、$\mathrm{M}$ は ${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$ の中点で ${\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{M}\perp \mathrm{O}{\mathrm{P}}^{\prime }$。直角三角形 $\mathrm{O}{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{P}}^{\prime }$ で
$${\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{M}=\frac{\mathrm{O}{\mathrm{A}}^{\prime }\cdot {\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{A}}^{\prime }}{\mathrm{O}{\mathrm{P}}^{\prime }}=\frac{L}{d},{\mathrm{P}}^{\prime }\mathrm{M}=\frac{{{\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{A}}^{\prime }}^2}{\mathrm{O}{\mathrm{P}}^{\prime }}=\frac{L^2}{d}$$
よって
$$△{\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }={\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{M}\cdot {\mathrm{P}}^{\prime }\mathrm{M}=\frac{L^3}{d^2}=\frac{L^3}{L^2+1}$$
したがって
$$△\mathrm{PAB}=2\cdot \frac{L^3}{L^2+1}$$

単調性 $g(L)=\frac{L^3}{L^2+1}(L>0)$ とすると
$$g^{\prime }(L)=\frac{3L^2(L^2+1)-L^3\cdot 2L}{(L^2+1{)}^2}=\frac{L^2(L^2+3)}{(L^2+1{)}^2}>0$$
なので $g$ は増加関数である。$L^2=d^2-1$ だから、面積が最小になるのは $d^2$ が最小のときである。

$d^2$ の最小値 $p+q=5$ より $p=5-q$ を代入して
$$d^2=\frac{(5-q{)}^2}{4}+q^2=\frac{5q^2-10q+25}{4}=\frac{5(q-1{)}^2+20}{4}\geqq 5$$
等号は $q=1,p=4$ のとき。このとき $L^2=4$, $L=2$ で
$$△\mathrm{PAB}=2\cdot \frac{8}{5}=\frac{16}{5}$$

確認 $\mathrm{P}(4,1)$ のとき、接点 $(x_1,y_1)$ での接線 $\frac{x_{1}x}{4}+y_{1}y=1$ が $\mathrm{P}$ を通る条件から、接点は直線 $x+y=1$ 上にある。これと $C$ を連立すると $\frac{x^2}{4}+(1-x{)}^2=1$ より $x=0,\frac{8}{5}$。$\mathrm{A}(0,1)$, $\mathrm{B}\left(\frac{8}{5},-\frac{3}{5}\right)$ で、$\overrightarrow{\mathrm{PA}}=(-4,0)$, $\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\left(-\frac{12}{5},-\frac{8}{5}\right)$ より
$$△\mathrm{PAB}=\frac{1}{2}\left|(-4)\cdot \left(-\frac{8}{5}\right)-0\cdot \left(-\frac{12}{5}\right)\right|=\frac{16}{5}$$
となり一致する。

よって、求める最小値は $\frac{16}{5}$ である。

$x=2X,y=Y$ と変換すると、$C$ は単位円 $X^2+Y^2=1$ に、$\ell$ は $2X+Y=5$ に移り、面積はすべて $\frac{1}{2}$ 倍になる（$x$ 方向に 2 倍の写像の逆なので、変換後の面積は元の $\frac{1}{2}$。逆に、元の面積 $=2\times$ 変換後の面積）。接線・接点の対応は保たれる。
変換後の点を ${\mathrm{P}}^{\prime },{\mathrm{A}}^{\prime },{\mathrm{B}}^{\prime }$、$d={\mathrm{OP}}^{\prime }$ とおく（$\mathrm{O}$ は原点）。$d>1$。
${\mathrm{P}}^{\prime }$ から単位円への接線の接点を結ぶ弦 ${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$ は、極線で $\mathrm{O}$ からの距離が $\frac{1}{d}$ であり、弦の長さは $2\sqrt{1-\frac{1}{d^2}}$。${\mathrm{P}}^{\prime }$ から弦までの距離は $d-\frac{1}{d}$。
よって $△{\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{1-\frac{1}{d^2}}\cdot \left(d-\frac{1}{d}\right)=\frac{(d^2-1{)}^{3/2}}{d^2}$。
$t=d^2(>1)$ とおき $g(t)=\frac{(t-1{)}^{3/2}}{t}$。$g^{\prime }(t)=\frac{\frac{3}{2}(t-1{)}^{1/2}t-(t-1{)}^{3/2}}{t^2}=\frac{(t-1{)}^{1/2}\left(\frac{1}{2}t+1\right)}{t^2}>0$ なので $g$ は増加関数。したがって $d$ が最小のとき面積も最小。
${\mathrm{P}}^{\prime }$ は直線 $2X+Y=5$ 上にあり、$d$ の最小値は原点との距離 $\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$（このとき ${\mathrm{P}}^{\prime }=(2,1)$、すなわち $\mathrm{P}=(4,1)$）。$t=5$ で $g(5)=\frac{4^{3/2}}{5}=\frac{8}{5}$。
元の面積は $2\times \frac{8}{5}=\frac{16}{5}$。
検算: $\mathrm{P}=(4,1)$ のとき極線は $\frac{4x}{4}+y=1$、すなわち $x+y=1$。$C$ との交点は $\frac{x^2}{4}+(1-x{)}^2=1$ より $5x^2-8x=0$、$x=0,\frac{8}{5}$。$\mathrm{A}=(0,1)$, $\mathrm{B}=(\frac{8}{5},-\frac{3}{5})$。$\mathrm{AB}=\frac{8}{5}\sqrt{2}$、$\mathrm{P}$ から $x+y=1$ までの距離 $\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$。面積 $=\frac{1}{2}\cdot \frac{8}{5}\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}=\frac{16}{5}$。一致する。