平面上の曲線の問題

手順 1：2 接線が直交する条件から $t$ を求める。

楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ の外部の点から引いた 2 接線が直交するとき、その点は円 $x^2+y^2=a^2+b^2$ 上にある。このことを今の場合に確かめながら使う。

点 $\mathrm{P}$ の $x$ 座標は $1$ で、$C$ の $x$ 座標の範囲 $-\sqrt{5}\le x\le \sqrt{5}$ の内側なので、$\mathrm{P}$ を通る直線 $x=1$ は $C$ の接線ではない。よって 2 本の接線はどちらも傾きをもつ。傾き $m$ の接線を $y=mx+k$ とおいて $C$ の式に代入すると
$$\frac{x^2}{5}+\frac{(mx+k{)}^2}{4}=1$$
$$(5m^2+4)x^2+10mkx+5k^2-20=0$$
接する条件は判別式が $0$ であることなので
$$\frac{D}{4}=25m^2{k}^2-(5m^2+4)(5k^2-20)=0$$
これを整理すると $-20k^2+100m^2+80=0$、すなわち $k^2=5m^2+4$ である。

この接線が $\mathrm{P}(1,t)$ を通るので $k=t-m$ であり
$$(t-m{)}^2=5m^2+4$$
$$4m^2+2tm+4-t^2=0$$
2 本の接線の傾き $m_1$, $m_2$ はこの 2 次方程式の 2 つの解である。2 接線が直交するので $m_1{m}_2=-1$ であり、解と係数の関係から
$$m_1{m}_2=\frac{4-t^2}{4}=-1$$
よって $t^2=8$。$t>0$ より $t=2\sqrt{2}$ である。

（実際、$1^2+(2\sqrt{2}{)}^2=9=5+4$ となり、$\mathrm{P}$ は円 $x^2+y^2=a^2+b^2$ 上にある。また $\frac{1}{5}+\frac{8}{4}>1$ なので $\mathrm{P}$ は $C$ の外部にある。）

手順 2：接点を結ぶ直線の方程式を求める。

接点を $\mathrm{A}(x_1,y_1)$, $\mathrm{B}(x_2,y_2)$ とすると、それぞれの点における接線は
$$\frac{x_{1}x}{5}+\frac{y_{1}y}{4}=1,\frac{x_{2}x}{5}+\frac{y_{2}y}{4}=1$$
である。どちらも $\mathrm{P}(1,2\sqrt{2})$ を通るので
$$\frac{x_1}{5}+\frac{2\sqrt{2}{y}_1}{4}=1,\frac{x_2}{5}+\frac{2\sqrt{2}{y}_2}{4}=1$$
が成り立つ。これは、$\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ がともに直線
$$\frac{x}{5}+\frac{2\sqrt{2}y}{4}=1\text{すなわち}\frac{x}{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}y=1$$
上にあることを意味する。異なる 2 点を通る直線はただ 1 つなので、これが直線 $\mathrm{AB}$ である。

手順 3：$y$ 切片を求める。

$x=0$ を代入すると $\frac{\sqrt{2}}{2}y=1$ より
$$y=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$$
したがって、直線 $\mathrm{AB}$ の $y$ 切片は $\sqrt{2}$ である。

楕円 $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$ の直交する2接線の交点は、準円 $x^2+y^2=5+4=9$ 上にある。

（確認）点 $(1,t)$ を通る接線 $y=m(x-1)+t$ が楕円に接する条件は、$(y-t)=m(x-1)$ を代入して判別式を計算すると $(1-5)\cdot$ … と進むが、結果として $m$ の2次方程式 $(1-5)m^2-2tm+(t^2-4)=0$ すなわち $-4m^2-2tm+t^2-4=0$ が得られる。ここで接線の傾きの積は $\frac{t^2-4}{-4}\cdot (-1)$ の形で整理でき、直交条件 $m_1{m}_2=-1$ から $t^2-4=4$ ではなく、正しく整理すると $m_1{m}_2=\frac{4-t^2}{4-\dots }$ となる。

接線の傾きの条件を正確に書くと、接線 $y=mx+k$ が楕円に接する条件は $k^2=5m^2+4$ である。点 $(1,t)$ を通るので $k=t-m$ を代入して $(t-m{)}^2=5m^2+4$、すなわち $4m^2+2tm-t^2+4=0$。よって $m_1{m}_2=\frac{4-t^2}{4}$。直交条件 $m_1{m}_2=-1$ より $4-t^2=-4$、$t^2=8$。$t>0$ より $t=2\sqrt{2}$。これは準円の式 $1+t^2=9$ とも一致する。

点 P は楕円の外部にある（$\frac{1}{5}+\frac{8}{4}>1$）。接点 A, B を結ぶ直線は P の極線で、
$\frac{1\cdot x}{5}+\frac{ty}{4}=1$。

$x=0$ とすると $y=\frac{4}{t}=\frac{4}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。

検算：極線は $\frac{x}{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}y=1$。切片 $y=\sqrt{2}$ のとき $\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \sqrt{2}=1$ で成り立つ。

よって $y$ 切片は $\sqrt{2}$。