逆関数・陰関数・媒介変数表示の微分

$t$ を実数の媒介変数として、曲線が次のように表されている。
$$x=t^2+1,y=t^3-3t$$
$t=2$ に対応する点における $\frac{dy}{dx}$ の値を求めよ。

$t$ を実数の媒介変数として、曲線が
$$x=t^2+1,y=t^3-2t$$
で表されている。$t=2$ に対応する点における $\frac{dy}{dx}$ の値を求めよ。

媒介変数 $t$ を用いて
$$x=t^2+1,y=t^3-2t$$
と表される曲線がある。ただし、$t$ は実数とする。$t=2$ のときの $\frac{dy}{dx}$ の値を求めよ。

関数 $f(x)=x^3+x$ の逆関数を $g(x)$ とする。関数
$$h(x)=\frac{\{g(x){\}}^2}{x}(x>0)$$
について、$h^{\prime }(10)$ の値を求めよ。

一様な電離気体（プラズマ）の中を伝わる電磁波は、角振動数 $\omega$ と波数 $k$（$k>0$）の間に分散関係
$${\omega }^2={\omega }_p^2+c^2{k}^2$$
を満たす。ここで $c$ は真空中の光速、${\omega }_p>0$ はプラズマ角振動数とよばれる定数である（$\omega >0$ とする）。

角振動数 $\omega =2{\omega }_p$ の電磁波の波束がこのプラズマ中を進むとき、その群速度 $v_g=\frac{d\omega }{dk}$ を $c$ を用いて表せ。

線密度 $\mu$、張力 $T$ で張られた十分に長い弦を考える（$\mu >0$, $T>0$）。この弦は曲げに対するかたさをもち、その大きさを表す定数を $\kappa >0$ とする。弦の微小な横変位 $y(x,t)$ は次の方程式に従う。
$$\mu \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}-\kappa \frac{{\partial }^{4}y}{\partial x^4}$$
この弦を、正弦波 $y=A\cos (kx-\omega t)$（$A\ne 0$, 波数 $k>0$, 角振動数 $\omega >0$）が伝わる。波数が $k=\sqrt{\frac{T}{\kappa }}$ のときの群速度 $v_g=\frac{d\omega }{dk}$ を、$T$, $\mu$ を用いて表せ。

関数 $f(x)=x^3+2x-1$ （$x$ は実数）の逆関数を $g(x)$ とする。また、$x\ne 0$ である実数 $x$ に対して
$$h(x)=\frac{g(x^2+1)}{x}$$
と定める。$h^{\prime }(1)$ の値を求めよ。

実数全体で定義された関数 $f(x)=x^3+2x+3$ の逆関数を $g(x)$ とする。さらに、$x>0$ において関数 $h(x)$ を
$$h(x)=\frac{g(x^2+2)}{x}$$
で定める。このとき、$h^{\prime }(2)$ の値を求めよ。

弾性床の上に置かれた十分に長い一様な梁（鉄道のレールのモデル）を考える。梁は $x$ 軸に沿って置かれており、梁の単位長さあたりの質量を $\mu$、曲げ剛性を $D$ とする。梁の下の弾性床は、梁の単位長さあたりばね定数 $\kappa$ のばねとしてはたらく（$\mu >0$, $D>0$, $\kappa >0$）。梁の鉛直方向の微小変位 $u(x,t)$ は、方程式
$$\mu \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=-D\frac{{\partial }^{4}u}{\partial x^4}-\kappa u$$
に従うものとする（減衰と重力によるつり合いの位置からのずれは考えない）。

この梁を伝わる正弦波 $u=A\cos (kx-\omega t)$（$k>0$, $\omega >0$）について、位相速度 $\omega /k$ は $k$ のある値で最小になる。その波数での群速度 $\frac{d\omega }{dk}$ を $\mu$, $D$, $\kappa$ を用いて表せ。

実数全体で定義された関数
$$f(x)=x+\log (1+x^2)$$
を考える。ただし、$\log$ は自然対数である。$f(x)$ は実数全体で単調に増加するので、逆関数 $g(x)$ をもつ。このとき、$g^{\prime \prime }(2+\log 5)$ の値を求めよ。

媒介変数 $t$（$t$ は実数全体を動く）を用いて
$$x=t^2,y=t-\frac{t^3}{3}$$
と表される曲線 $C$ がある。$C$ はただ 1 つの点で自分自身と交わり、その点を始点かつ終点とする閉じた部分（ループ）をもつ。このループの長さを求めよ。

$x>\frac{1}{e}$ で定義された関数 $$f(x)=x^x$$ を考える。ただし、$e$ は自然対数の底とする。$f(x)$ は $x>\frac{1}{e}$ で単調に増加するので逆関数をもつ。その逆関数を $g(x)$ とするとき、$g(x)$ の第 $3$ 次導関数 $g^{\prime \prime \prime }(x)$ の $x=1$ における値 $g^{\prime \prime \prime }(1)$ を求めよ。

水平で平らな底をもつ、一様な深さ $h$ の水の表面を伝わる微小振幅の重力波（表面張力は無視する）は、角振動数 $\omega >0$ と波数 $k>0$ の間に分散関係
$${\omega }^2=gk\tanh (kh)$$
を満たす。ここで $g$ は重力加速度の大きさである。

波数が $kh=\log 2$ を満たす波について、群速度 $v_g=\frac{d\omega }{dk}$ と位相速度 $v_p=\frac{\omega }{k}$ の比 $\frac{v_g}{v_p}$ を求めよ。答えは $\log 2$ を含む正確な形で表せ。

質量 $M$ の同じ原子が直線上に間隔 $a$ で無限に並んだ 1 次元格子を考える。原子は直線に沿った方向にだけ動き、隣り合う原子どうし（距離 $a$）はばね定数 $K$ のばねで、1 つおいて隣の原子どうし（距離 $2a$）も同じばね定数 $K$ のばねでつながれているとみなす（調和近似）。$n$ 番目の原子のつり合いの位置からの変位を $u_n$ とし、$u_n\propto e^{i(kna-\omega t)}$ の形の格子波（波数 $k$、角振動数 $\omega >0$）を考える。

$0<k<\frac{\pi }{a}$ の範囲で、この格子波の群速度 $v_g=\frac{d\omega }{dk}$ が $0$ になる波数 $k$ を、$a$ を用いて表せ。

座標平面上の曲線 $C$ を、媒介変数 $t$ を用いて
$$x=2\cos t+\cos 2t,y=2\sin t-\sin 2t(0\leqq t\leqq 2\pi )$$
で定める。$C$ は自分自身と交わらない閉曲線である。$C$ で囲まれた部分のうち、円 $x^2+y^2=1$ の外部にある部分の面積を求めよ。

$x>0$ で定義された微分可能な関数 $f(x)$ は、減少関数で $0<f(x)<1$ を満たし、$\underset{x\to +0}{\lim }f(x)=1$ である。さらに、曲線 $C:y=f(x)(x>0)$ 上のどの点 $\mathrm{P}$ についても、$\mathrm{P}$ における $C$ の接線と $x$ 軸の交点を $\mathrm{Q}$ とすると $\mathrm{PQ}=1$ が成り立つ。

曲線 $C$ のうち $$\frac{\log 3-1}{2}\leqq x\leqq \log \left(2+\sqrt{3}\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}$$ の部分の長さ $L$ を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。