振動・波動の問題

十分に深い海の表面を伝わる微小振幅の重力波（表面張力は無視する）は、角振動数 $\omega >0$ と波数 $k>0$ の間に分散関係
$${\omega }^2=gk$$
を満たす。ここで $g$ は重力加速度の大きさである。

沖合の嵐の領域で発生したうねり（周期 $\tau$ の成分がそろった波束）が、海面に沿って一直線に距離 $D$ だけ離れた海岸に向かって進む。波束のエネルギー（波束の包絡線）は群速度で伝わるものとし、途中で海の深さや風の影響は変わらないとする（$\tau >0$, $D>0$）。周期 $\tau$ の成分の波束が、嵐の領域から海岸に届くまでにかかる時間を、$g,\tau ,D$ を用いて表せ。

水平で平らな底をもつ、一様な深さ $h$ の水の表面を伝わる微小振幅の重力波（表面張力は無視する）は、角振動数 $\omega >0$ と波数 $k>0$ の間に分散関係
$${\omega }^2=gk\tanh (kh)$$
を満たす。ここで $g$ は重力加速度の大きさである。

波数が $kh=\log 2$ を満たす波について、群速度 $v_g=\frac{d\omega }{dk}$ と位相速度 $v_p=\frac{\omega }{k}$ の比 $\frac{v_g}{v_p}$ を求めよ。答えは $\log 2$ を含む正確な形で表せ。

線密度 $\mu$、張力 $T$ で張られた十分に長い弦を考える（$\mu >0$, $T>0$）。この弦は曲げに対するかたさをもち、その大きさを表す定数を $\kappa >0$ とする。弦の微小な横変位 $y(x,t)$ は次の方程式に従う。
$$\mu \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}-\kappa \frac{{\partial }^{4}y}{\partial x^4}$$
この弦を、正弦波 $y=A\cos (kx-\omega t)$（$A\ne 0$, 波数 $k>0$, 角振動数 $\omega >0$）が伝わる。波数が $k=\sqrt{\frac{T}{\kappa }}$ のときの群速度 $v_g=\frac{d\omega }{dk}$ を、$T$, $\mu$ を用いて表せ。

十分に深い水の表面を伝わる波（深水波）の角振動数 $\omega$ と波数 $k$ のあいだには、重力加速度の大きさを $g$ として、分散関係

$$\omega =\sqrt{gk}(k>0)$$

が成り立つとする（表面張力は無視する）。位相速度を $v_p=\frac{\omega }{k}$、群速度を $v_g=\frac{d\omega }{dk}$ とするとき、比 $\frac{v_g}{v_p}$ を求めよ。

抵抗値 $R$ の抵抗、自己インダクタンス $L$ のコイル、電気容量 $C$ のコンデンサーを直列につなぎ、交流電源の電圧 $V(t)=V_0\cos \omega t$（$V_0>0$, $\omega >0$）を加える（$R>0$, $L>0$, $C>0$）。導線・コイルの抵抗や電源の内部抵抗は無視し、$R^2<\frac{2L}{C}$ が成り立つとする。

コンデンサーの電荷を $q(t)$ とすると、回路の方程式は
$$L\frac{d^{2}q}{d{t}^2}+R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=V_0\cos \omega t$$
である。十分に時間がたった定常状態で、コンデンサーの両端の電圧の振幅が最大になるときの角振動数 $\omega$ を、$R$, $L$, $C$ を用いて表せ。