振動・波動の問題

十分に深い海の表面を伝わる微小振幅の重力波（表面張力は無視する）は、角振動数 $\omega >0$ と波数 $k>0$ の間に分散関係
$${\omega }^2=gk$$
を満たす。ここで $g$ は重力加速度の大きさである。

沖合の嵐の領域で発生したうねり（周期 $\tau$ の成分がそろった波束）が、海面に沿って一直線に距離 $D$ だけ離れた海岸に向かって進む。波束のエネルギー（波束の包絡線）は群速度で伝わるものとし、途中で海の深さや風の影響は変わらないとする（$\tau >0$, $D>0$）。周期 $\tau$ の成分の波束が、嵐の領域から海岸に届くまでにかかる時間を、$g,\tau ,D$ を用いて表せ。

十分に深い水の表面を伝わる波（深水波）の角振動数 $\omega$ と波数 $k$ のあいだには、重力加速度の大きさを $g$ として、分散関係

$$\omega =\sqrt{gk}(k>0)$$

が成り立つとする（表面張力は無視する）。位相速度を $v_p=\frac{\omega }{k}$、群速度を $v_g=\frac{d\omega }{dk}$ とするとき、比 $\frac{v_g}{v_p}$ を求めよ。

水平でなめらかなレールに沿って一直線上を動ける質量 $m$ の台があり、台はばね定数 $k$ のばねで壁につながれている。台の点 P から長さ $l$ の軽くて伸びない糸で質量 $m$ の小球をつるし、小球はレールを含む鉛直面内で振れる。台の位置（ばねが自然長のときからの変位、レールに沿って右向きを正）を $x$、糸が鉛直線となす角を $\theta$ とする。重力加速度の大きさを $g$ とし、ばね定数は $k=\frac{mg}{l}$ であるとする。空気抵抗・摩擦・糸とばねの質量は無視する。

$x$, $\theta$ が十分小さい微小振動を考え、$x,\theta ,\dot{x},\dot{\theta }$ について 2 次までの近似でラグランジアンを書くとき、この系の 2 つの基準振動の角振動数を ${\omega }_1$, ${\omega }_2$（$0<{\omega }_1<{\omega }_2$）とする。比 $\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}$ を求めよ。答えは根号を含む最も簡単な形で表せ。

一様な電離気体（プラズマ）の中を伝わる電磁波は、角振動数 $\omega$ と波数 $k$（$k>0$）の間に分散関係
$${\omega }^2={\omega }_p^2+c^2{k}^2$$
を満たす。ここで $c$ は真空中の光速、${\omega }_p>0$ はプラズマ角振動数とよばれる定数である（$\omega >0$ とする）。

角振動数 $\omega =2{\omega }_p$ の電磁波の波束がこのプラズマ中を進むとき、その群速度 $v_g=\frac{d\omega }{dk}$ を $c$ を用いて表せ。

長さ $L$、線密度 $\mu$ の一様な弦が張力 $T$ で張られ、両端 $x=0$ と $x=L$ で固定されている。弦の横変位 $y(x,t)$ は波動方程式
$$\mu \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$$
に従い、変位は十分小さく、重力・空気抵抗・減衰は無視できるものとする。

時刻 $t=0$ に、弦の点 $x=L/3$ をつまんで高さ $h$ まで引き上げ、弦が 2 本の線分からなる折れ線
$$y(x,0)=\{\begin{array}{ll}\frac{3h}{L}x& (0\le x\le L/3)\\ \frac{3h}{2L}(L-x)& (L/3\le x\le L)\end{array}$$
の形で静止した状態から静かに放した。

その後の運動で、弦の全力学的エネルギーのうち基本振動（最も振動数の低い基準振動）が担うエネルギーの割合を求めよ。答えは $\pi$ を含む正確な値で表せ。