振動・波動

なめらかな水平面上で、質量 $m=0.50\mathrm{kg}$ の物体が、ばね定数 $k=50N/m$ のばねで壁につながれている。物体は、ばねの方向（$x$ 軸方向）にだけ運動し、速度 $\dot{x}$ に比例する抵抗力 $-b\dot{x}$（$b=6.0kg/s$）を受ける。ばねが自然長のときの物体の位置を $x=0$ とすると、運動方程式は
$$m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=0$$
である。与えられた数値は正確な値として扱う。

この物体は減衰振動をする。その角振動数 ${\omega }_d$ を $rad/s$ 単位で求めよ。

なめらかな水平面上で、2 つの固定された壁のあいだに、質量がともに $m$ の小物体 A, B を一直線上に並べ、左の壁と A、A と B、B と右の壁を、ばね定数がすべて $k$ の 3 本の軽いばねでつなぐ。つり合いの位置ではどのばねも自然長である。A, B のつり合いの位置からの右向きの変位をそれぞれ $x_1$, $x_2$ とし、運動はばねの方向（一直線上）に限られるとする。摩擦と空気抵抗は無視する。

この系の 2 つの基準振動の角振動数を、小さい方、大きい方の順に、$k$, $m$ を用いて求めよ。

線密度 $\mu =2.0\times 10^{-2}kg/m$ の一様な弦を、張力 $T=72\mathrm{N}$ で $x$ 軸に沿ってまっすぐに張る。弦の $x$ 軸からの横方向の変位を $y(x,t)$ とすると、変位と傾きが小さいとき（張力の大きさは一定とみなし、重力は無視する）、弦の微小部分の運動方程式から

$$\mu \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$$

が成り立つ。この弦を伝わる横波の速さは何 $m/s$ か。整数で求めよ。

十分に深い水の表面を伝わる波（深水波）の角振動数 $\omega$ と波数 $k$ のあいだには、重力加速度の大きさを $g$ として、分散関係

$$\omega =\sqrt{gk}(k>0)$$

が成り立つとする（表面張力は無視する）。位相速度を $v_p=\frac{\omega }{k}$、群速度を $v_g=\frac{d\omega }{dk}$ とするとき、比 $\frac{v_g}{v_p}$ を求めよ。

水平な床の上で、質量 $m=0.50\mathrm{kg}$ の物体がばね定数 $k=50N/m$ のばねで壁につながれている。物体は速度に比例する抵抗力 $-b\dot{x}$（$b=3.0kg/s$）を受け、さらに水平方向の外力 $F_0\cos \omega t$（$F_0=2.0\mathrm{N}$, $\omega =8.0rad/s$）を受けて、ばねの方向に一直線上を運動する。つり合いの位置からの変位を $x$ とすると、運動方程式は

$$m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=F_0\cos \omega t$$

である（抵抗力以外の摩擦は無視する）。十分に時間がたったあとの定常状態での振動の振幅は何 $\mathrm{m}$ か。既約分数で求めよ。

同じ高さの 2 点から、長さ $l$ の軽い糸で質量 $m$ の小球をそれぞれつるし、2 つの単振り子をつくる。2 つの小球を、ばね定数 $k$ の軽いばねで水平につなぐ。2 つの振り子がともに鉛直に静止しているとき、ばねは自然長である。振り子は同じ鉛直面内で振動し、それぞれの糸が鉛直線となす角を ${\theta }_1$, ${\theta }_2$（同じ向きを正）とする。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。

${\theta }_1$, ${\theta }_2$ が十分小さいとして、ラグランジアンを ${\theta }_1,{\theta }_2,{\dot{\theta }}_1,{\dot{\theta }}_2$ について 2 次まで近似する。ばねの伸びは小球の水平方向の変位の差 $l({\theta }_2-{\theta }_1)$ で近似してよい。このとき、2 つの基準振動の角振動数を、小さい方、大きい方の順に $g,l,k,m$ を用いて求めよ。

長さ $L=0.80\mathrm{m}$、線密度 $\mu =1.0\times 10^{-2}kg/m$ の一様な弦を、張力 $T=64\mathrm{N}$ で張り、両端 $x=0$, $x=L$ を固定する。弦の横方向の変位 $y(x,t)$ は波動方程式

$$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=v^2\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2},v=\sqrt{\frac{T}{\mu }}$$

に従い、境界条件 $y(0,t)=y(L,t)=0$ を満たすとする（重力は無視する）。この弦の基準振動の角振動数を小さい順に ${\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3,\dots$ とするとき、${\omega }_3$ は何 $rad/s$ か。$\pi$ を用いた正確な値で求めよ。

線密度 $\mu$ の弦（$x<0$）と線密度 $4\mu$ の弦（$x>0$）を点 $x=0$ でつなぎ、全体を同じ張力 $T$ で $x$ 軸に沿って張る。$x<0$ の側から正弦波

$$y_{\mathrm{i}}=A\cos (\omega t-k_{1}x)$$

が入射し、接続点で反射波 $y_{\mathrm{r}}=B\cos (\omega t+k_{1}x)$ と透過波 $y_{\mathrm{t}}=C\cos (\omega t-k_{2}x)$ が生じる。ここで $k_1$, $k_2$ はそれぞれの弦での波数である。接続点では弦の変位と傾き $\frac{\partial y}{\partial x}$ が連続であるとする（重力は無視し、変位は小さいとする）。振幅の比 $\frac{B}{A}$ を求めよ。

なめらかな水平面上で、質量 $m=2.0\mathrm{kg}$ の物体がばね定数 $k=54N/m$ のばねで壁につながれ、速度に比例する抵抗力 $-b\dot{x}$（$b=4.0kg/s$）と外力 $F_0\cos \omega t$（$F_0>0$ は定数）を受けて、ばねの方向に一直線上を運動する。つり合いの位置からの変位を $x$ とすると、運動方程式は

$$m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=F_0\cos \omega t$$

である。外力の角振動数 $\omega (>0)$ をいろいろに変えるとき、定常状態での振動の振幅が最大になる $\omega$ は何 $rad/s$ か。整数で求めよ。

長さ $L$、線密度 $\mu$ の一様な弦を張力 $T$ で張り、両端 $x=0$, $x=L$ を固定する。弦の横方向の変位 $y(x,t)$ は波動方程式 $\mu \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$ に従う。時刻 $t=0$ で弦を

$$y(x,0)=4a{\sin }^3\frac{\pi x}{L}(0\le x\le L)$$

の形にして、静かに（初速度 $0$ で）放す。ここで $a$ は正の定数で、変位は十分小さいとする。エネルギーの損失はないものとする。弦の全エネルギー（運動エネルギーと張力による位置エネルギーの和）のうち、基本振動（$n=1$ の基準振動）が担うエネルギーの割合を求めよ。

$0\le x\le a$, $0\le y\le b$（$a=0.30\mathrm{m}$, $b=0.40\mathrm{m}$）の長方形の枠に、一様な膜を一様な張力で張り、周囲を枠に固定する。膜の面に垂直な方向の変位 $u(x,y,t)$ は 2 次元の波動方程式

$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=v^2\left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\right)$$

に従い、膜を伝わる波の速さは $v=120m/s$ である。周囲では $u=0$ とする（変位は小さく、重力と空気抵抗は無視する）。この膜の基準振動のうち、最も低い振動数は何 $\mathrm{Hz}$ か。整数で求めよ。

一様な電離気体（プラズマ）の中を伝わる電磁波は、角振動数 $\omega$ と波数 $k$（$k>0$）の間に分散関係
$${\omega }^2={\omega }_p^2+c^2{k}^2$$
を満たす。ここで $c$ は真空中の光速、${\omega }_p>0$ はプラズマ角振動数とよばれる定数である（$\omega >0$ とする）。

角振動数 $\omega =2{\omega }_p$ の電磁波の波束がこのプラズマ中を進むとき、その群速度 $v_g=\frac{d\omega }{dk}$ を $c$ を用いて表せ。

十分に深い海の表面を伝わる微小振幅の重力波（表面張力は無視する）は、角振動数 $\omega >0$ と波数 $k>0$ の間に分散関係
$${\omega }^2=gk$$
を満たす。ここで $g$ は重力加速度の大きさである。

沖合の嵐の領域で発生したうねり（周期 $\tau$ の成分がそろった波束）が、海面に沿って一直線に距離 $D$ だけ離れた海岸に向かって進む。波束のエネルギー（波束の包絡線）は群速度で伝わるものとし、途中で海の深さや風の影響は変わらないとする（$\tau >0$, $D>0$）。周期 $\tau$ の成分の波束が、嵐の領域から海岸に届くまでにかかる時間を、$g,\tau ,D$ を用いて表せ。

線密度 $\mu$ の十分に長い弦（$x<0$ の部分）と、線密度 $9\mu$ の十分に長い弦（$x>0$ の部分）を原点 $x=0$ でつなぎ、全体を一様な張力 $T$ で $x$ 軸に沿って張った（$\mu >0$, $T>0$）。弦の微小な横変位 $y(x,t)$ は、それぞれの部分で波動方程式
$$\mu (x)\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$$
に従う（$\mu (x)$ はその位置での線密度）。つなぎ目には質量がなく、$x=0$ で変位 $y$ と傾き $\frac{\partial y}{\partial x}$ はともに連続であるとする。重力は無視する。

$x<0$ の側から、角振動数 $\omega$ の正弦波 $y=A\cos (k_{1}x-\omega t)$（$A>0$, $k_1>0$）が $x$ 軸の正の向きに入射し、つなぎ目で一部が反射し、一部が $x>0$ の側へ透過する。入射波が運ぶ平均のエネルギーの流れ（仕事率）のうち、透過波が運ぶ割合を求めよ。

質量 $M$ の同じ原子が、直線上に間隔 $a$ で無限に並んでいる（$M>0$, $a>0$）。隣り合う原子どうしだけが、ばね定数 $K(K>0)$ の軽いばねでつながれており、原子は直線に沿った方向にだけ微小振動する。$n$ 番目の原子のつり合いの位置からの変位を $u_n$ とすると、運動方程式は
$$M{\ddot{u}}_n=K(u_{n+1}-2u_n+u_{n-1})(n\text{ は整数})$$
である。

この格子を伝わる波 $u_n=A\cos (kna-\omega t)$（$A\ne 0$, $\omega >0$）を考える。波数が $k=\frac{\pi }{2a}$ のときの、群速度 $v_{\mathrm{g}}=\frac{d\omega }{dk}$ と位相速度 $v_{\mathrm{p}}=\frac{\omega }{k}$ の比 $\frac{v_{\mathrm{g}}}{v_{\mathrm{p}}}$ を求めよ。

なめらかな水平面上に、質量 $4m$ の小物体 A、質量 $3m$ の小物体 B、質量 $4m$ の小物体 C をこの順に一直線上に並べる。A と B、B と C を、ばね定数 $k$ の軽いばねでそれぞれつないだ（$m>0$, $k>0$）。A, B, C の外側には何もつながれていない。物体はばねの方向（直線方向）にだけ動くものとし、摩擦と空気抵抗は無視する。

この系の基準振動のうち、角振動数が $0$ でないものは 2 つある。その角振動数を大きい方から ${\omega }_{+}$、小さい方を ${\omega }_{-}$ とするとき、比 $\frac{{\omega }_{+}}{{\omega }_{-}}$ を求めよ。答えは根号を用いた正確な値で答えよ。

線密度 $\mu$、張力 $T$ で張られた十分に長い弦を考える（$\mu >0$, $T>0$）。この弦は曲げに対するかたさをもち、その大きさを表す定数を $\kappa >0$ とする。弦の微小な横変位 $y(x,t)$ は次の方程式に従う。
$$\mu \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}-\kappa \frac{{\partial }^{4}y}{\partial x^4}$$
この弦を、正弦波 $y=A\cos (kx-\omega t)$（$A\ne 0$, 波数 $k>0$, 角振動数 $\omega >0$）が伝わる。波数が $k=\sqrt{\frac{T}{\kappa }}$ のときの群速度 $v_g=\frac{d\omega }{dk}$ を、$T$, $\mu$ を用いて表せ。

抵抗値 $R$ の抵抗、自己インダクタンス $L$ のコイル、電気容量 $C$ のコンデンサーを直列につなぎ、交流電源の電圧 $V(t)=V_0\cos \omega t$（$V_0>0$, $\omega >0$）を加える（$R>0$, $L>0$, $C>0$）。導線・コイルの抵抗や電源の内部抵抗は無視し、$R^2<\frac{2L}{C}$ が成り立つとする。

コンデンサーの電荷を $q(t)$ とすると、回路の方程式は
$$L\frac{d^{2}q}{d{t}^2}+R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=V_0\cos \omega t$$
である。十分に時間がたった定常状態で、コンデンサーの両端の電圧の振幅が最大になるときの角振動数 $\omega$ を、$R$, $L$, $C$ を用いて表せ。

長さ $L$、線密度 $\mu$ の一様な弦が、張力 $T$ で $x$ 軸に沿って張られている（$L>0$, $\mu >0$, $T>0$）。弦の端 $x=0$ は壁に固定されている。もう一方の端 $x=L$ には質量の無視できる小さな輪が付いており、この輪は $x=L$ に鉛直に立てたなめらかな棒に沿って $y$ 方向にだけ自由に動ける。弦の横変位 $y(x,t)$ は微小で、波動方程式
$$\mu \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}(0<x<L)$$
に従うものとし、重力・空気抵抗は無視する。

時刻 $t=0$ に弦を
$$y(x,0)=A{\sin }^3\frac{\pi x}{2L}(0\le x\le L)$$
の形にして静かに放した（$A>0$ は定数で、変位は十分小さい。すべての点の初速度は $0$）。$t\ge 0$ における輪の変位 $y(L,t)$ を、$A$, $L$, $\mu$, $T$, $t$ を用いて表せ。

質量 $m$ の等しい質点が、ばね定数 $K$ の等しいばねで一直線上に無限に並んでつながれている（1 次元の単原子格子、$m>0$, $K>0$）。つり合いの位置での隣り合う質点の間隔は $a$（$a>0$）である。$n$ 番目の質点のつり合いの位置からの変位を $u_n(t)$ とすると、運動方程式は
$$m\frac{d^2{u}_n}{d{t}^2}=K\left(u_{n+1}-2u_n+u_{n-1}\right)$$
である。

この格子を伝わる波 $u_n(t)=A\cos (kna-\omega t)$（$A\ne 0$、$\omega >0$、波数 $k$ は $0<k\le \pi /a$）を考える。波長が $3a$ の波について、群速度 $v_g$ と位相速度 $v_p$ の比 $\frac{v_g}{v_p}$ を求めよ。答えは根号と $\pi$ を用いた正確な値で答えよ。

図のように、自己インダクタンス $L$ のコイル 2 個、電気容量 $C$ のコンデンサー 2 個、電気容量 $C_0$ のコンデンサー 1 個からなる回路がある（$L>0$, $C>0$, $C_0>0$）。左の閉回路は「コイル $L$、コンデンサー $C$、コンデンサー $C_0$」、右の閉回路は「コンデンサー $C_0$、コンデンサー $C$、コイル $L$」からなり、コンデンサー $C_0$ が 2 つの閉回路に共通な枝になっている。

左の閉回路を時計回りに流れる網目電流を $I_1=\frac{d{q}_1}{dt}$、右の閉回路を時計回りに流れる網目電流を $I_2=\frac{d{q}_2}{dt}$ とし、左のコンデンサー $C$ の電荷を $q_1$、右のコンデンサー $C$ の電荷を $q_2$、コンデンサー $C_0$ の電荷を $q_1-q_2$ と表す（符号の向きは網目電流の向きに合わせる）。導線とコイルの抵抗は無視し、電磁波の放射やコイルどうしの相互誘導もないものとする。

この回路の電気振動の 2 つの基準振動の角振動数を、$L$, $C$, $C_0$ を用いて、小さいほうから順に組で求めよ。

質量 $m$ の物体がばね定数 $k$ のばねにつながれ、なめらかな水平面上で一直線上を運動する。物体には速度に比例する抵抗力 $-b\dot{x}$ がはたらき、さらに外力 $F_0\cos \omega t$ が加えられている（$x$ はつりあいの位置からの変位、$F_0>0$, $\omega >0$）。抵抗の係数は $b=\frac{1}{2}\sqrt{mk}$ である。

十分時間がたった後の定常振動の振幅を $A(\omega )$ とする。外力の角振動数 $\omega$ を $0<\omega <\infty$ の範囲で変えたときの $A(\omega )$ の最大値を $A_{\max }$ とし、$\omega \to +0$ の極限での振幅を $A_0=\underset{\omega \to +0}{\lim }A(\omega )$ とする。比 $\frac{A_{\max }}{A_0}$ を求めよ。答えは根号を含む正確な値で表せ。

面密度 $\rho$ の一様な膜が、単位長さあたりの張力 $\sigma$ で一様に張られ、長方形 $0\le x\le 2a$, $0\le y\le a$（$a>0$）の周の上で固定されている。膜の面に垂直な微小変位 $u(x,y,t)$ は、波動方程式
$$\rho \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=\sigma \left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\right)$$
に従い、境界条件は周の上で $u=0$ である。

この膜の基準振動（$u$ が $f(x,y)\cos (\omega t+\varphi )$ の形に書ける振動、$\omega >0$）の振動数を小さい順に調べるとき、空間的な形 $f(x,y)$ が 1 次独立な 2 つ以上の基準振動が同じ振動数をもつ（縮退する）振動数のうち最も小さいものを ${\nu }_{\ast }$ とする。最も低い基準振動の振動数（基本振動数）を ${\nu }_1$ とするとき、比 ${\nu }_{\ast }/{\nu }_1$ を求めよ。

なめらかな水平面上で、質量 $m$ の物体 A と質量 $2m$ の物体 B が一直線上に並んでいる。左の壁と A、A と B、B と右の壁が、それぞればね定数 $k$ の 3 本のばねでつながれている。つり合いの位置ではどのばねも自然長であり、A, B はばねの方向（一直線上）にだけ運動するものとする。

この系の 2 つの基準振動の角振動数を ${\omega }_1$, ${\omega }_2$（$0<{\omega }_1<{\omega }_2$）とするとき、比 $\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}$ を求めよ。答えは根号を含む最も簡単な形で表せ。

天井の点 O から、長さ $l$ の軽くて伸びない糸で質量 $m$ の小球 A をつるし、さらに A から長さ $l$ の軽くて伸びない糸で質量 $m$ の小球 B をつるした二重振り子を考える。2 つの小球は O を含む同じ鉛直面内だけで運動し、上の糸と下の糸が鉛直線となす角をそれぞれ ${\theta }_1$, ${\theta }_2$ とする。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗や糸の質量は無視する。

${\theta }_1$, ${\theta }_2$ が十分小さい微小振動を考え、${\theta }_1,{\theta }_2,{\dot{\theta }}_1,{\dot{\theta }}_2$ について 2 次までの近似でラグランジアンを書くとき、この系の 2 つの基準振動の角振動数を ${\omega }_1$, ${\omega }_2$（$0<{\omega }_1<{\omega }_2$）とする。比 $\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}$ を求めよ。

水平な床の上に、質量 $m$ の物体がばね定数 $k$ のばねで板 P につながれている。板 P は外部の装置によって、ばねの方向に $X(t)=X_0\cos \omega t$（$X_0>0$, $\omega >0$）と強制的に動かされる。床に固定した座標で、物体のつり合いの位置（$X=0$ のとき）からの変位を $x$ とし、ばねの伸びは $x-X$ で表されるものとする。物体には床に対する速度に比例する抵抗力 $-b\dot{x}$（$b>0$）がはたらき、それ以外の摩擦は無視できる。ばねの質量は無視でき、ばねはフックの法則に従う。

十分に時間がたって定常状態になったとき、抵抗力が物体から奪う仕事率の時間平均（1 周期の平均）を $\overline{P}(\omega )$ とする。$\overline{P}(\omega )$ は、$\omega$ を変えたときの最大値の半分になる $\omega$ が 2 つある。その 2 つの $\omega$ を $m,k,b$ を用いて表せ。

$xy$ 平面上の長方形 $0\le x\le 2a$, $0\le y\le a$（$a>0$）に、面密度 $\sigma$ の一様な膜が、単位長さあたり $S$ の一様な張力で張られている。膜の周囲（長方形の 4 辺）は固定されている。膜の面に垂直な微小変位 $u(x,y,t)$ は波動方程式
$$\sigma \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=S\left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\right)$$
に従う。

この膜の基準振動は、正の整数の組 $(m,n)$ で $u=\sin \frac{m\pi x}{2a}\sin \frac{n\pi y}{a}\cos ({\omega }_{mn}t+\delta )$ と表され、異なる組 $(m,n)$ は異なる基準振動とみなす。角振動数 ${\omega }_{mn}$ が、最も低い角振動数の $3$ 倍より小さい（$3$ 倍に等しいものは含めない）基準振動はいくつあるか。

なめらかな水平面上で、質量 $m$ の物体 A と質量 $m$ の物体 B が一直線上に並んでいる。左の壁と A がばね定数 $2k$ のばねで、A と B がばね定数 $k$ のばねでつながれており、B の右側には何もつながれていない（$m>0$, $k>0$）。つり合いの位置ではどちらのばねも自然長である。物体はばねの方向（一直線上）だけを運動し、ばねの質量と空気抵抗は無視する。

この系の 2 つの基準振動の角振動数のうち、大きい方を ${\omega }_{+}$、小さい方を ${\omega }_{-}$ とする。比 $\frac{{\omega }_{+}}{{\omega }_{-}}$ を求めよ。

天井に、ばね定数 $k$ の軽いばね 1 の上端を固定し、その下端に質量 $m$ の小物体 A をつけた。さらに A の下に、ばね定数 $k$ の軽いばね 2 の上端をつけ、その下端に質量 $m$ の小物体 B をつけた（$m>0$, $k>0$）。A, B は同じ鉛直線上で、鉛直方向にだけ運動する。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。

つり合いの位置からの A, B の変位を、鉛直下向きを正としてそれぞれ $x_1,x_2$ とする。この系の 2 つの基準振動のうち、角振動数が小さい方の基準振動では、$x_1$ と $x_2$ は $x_1=a_1\cos (\omega t+\varphi )$、$x_2=a_2\cos (\omega t+\varphi )$（$a_2\ne 0$）の形で振動する。このときの振幅の比 $\frac{a_1}{a_2}$ を求めよ。

水平な面の上で、質量 $m$ の物体が、ばね定数 $k$ のばねで左の壁につながれ、ばねの方向に一直線上を運動する（$m>0$, $k>0$）。物体には速度 $\dot{x}$ に比例する抵抗力 $-b\dot{x}$（$b>0$ は定数）がはたらき、それ以外の摩擦やばねの質量は無視する。$x$ はばねが自然長のときの位置を原点とし、右向きを正とする。

まず外力を加えずに物体を振動させたところ、減衰振動となり、$x$ が極大になる時刻の $x$ の値は、1 周期ごとに（1 つ前の極大の値の）$\frac{1}{2}$ 倍になった。

次に、同じ物体に外力 $F_0\cos {\omega }_{0}t$（$F_0>0$、${\omega }_0=\sqrt{k/m}$）を加え続けた。十分に時間がたったあとの定常振動の振幅を $A$ とするとき、比 $\frac{A}{F_0/k}$ を求めよ。

なめらかな水平な床の上に、質量 $M$ の台 A が置かれている。A は、ばね定数 $k$ の軽いばねで左の壁につながれ、ばねの方向（水平な一直線上）にだけ動く。A の上には軽い支柱が固定されており、その先端の点 P から長さ $l$ の軽くて伸びない糸で質量 $m$ の小球 B がつるされている。B は、A の運動の方向を含む鉛直面内だけで振れる。ここで
$$m=\frac{M}{2},k=\frac{Mg}{l}$$
とする（$M>0$, $l>0$。$g$ は重力加速度の大きさ）。

A の位置 $x$ をばねが自然長のときを原点として水平右向きを正にとり、糸が鉛直下向きとなす角を $\theta$ とする。空気抵抗と摩擦は無視し、$x$, $\theta$, $\dot{x}$, $\dot{\theta }$ はすべて微小であるとして 2 次までの近似を用いる。また、B は支柱や A にぶつからないものとする。

この系の 2 つの基準振動の角振動数を、小さい方、大きい方の順に、$g$ と $l$ を用いて表せ。

床の上に、全質量 $M$ の機械が、ばね定数 $k$ の軽いばねと、速度に比例する抵抗力を生む軽いダンパー（抵抗係数 $c>0$）で支えられている（$M>0$, $k>0$）。機械は鉛直方向にだけ動ける。機械の中には、回転軸からの距離 $r$ の位置に質量 $m_0$ の不つり合いの部分をもつ回転子がある（$0<m_0<M$, $r>0$）。この $m_0$ は $M$ に含まれる。重力はつり合いの位置をずらすだけなので、機械の変位 $x$ はつり合いの位置から鉛直上向きに測る。

まず回転子を止めた状態で機械を自由に振動させたところ、減衰振動の角振動数は $\sqrt{\frac{3k}{4M}}$ であった。

次に、回転子を一定の角速度 $\omega >0$ で回転させた。不つり合いの部分の、回転軸に対する鉛直方向の位置は $r\sin \omega t$ で表される。十分に時間がたった後の定常状態での機械の振幅を $X(\omega )$ とする。$\omega$ を $0<\omega <\infty$ の範囲で変えたとき、$X(\omega )$ が最大になる $\omega$ と、$X(\omega )$ の最大値を、この順に組で、$M$, $k$, $m_0$, $r$ を用いて求めよ。

弾性床の上に置かれた十分に長い一様な梁（鉄道のレールのモデル）を考える。梁は $x$ 軸に沿って置かれており、梁の単位長さあたりの質量を $\mu$、曲げ剛性を $D$ とする。梁の下の弾性床は、梁の単位長さあたりばね定数 $\kappa$ のばねとしてはたらく（$\mu >0$, $D>0$, $\kappa >0$）。梁の鉛直方向の微小変位 $u(x,t)$ は、方程式
$$\mu \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=-D\frac{{\partial }^{4}u}{\partial x^4}-\kappa u$$
に従うものとする（減衰と重力によるつり合いの位置からのずれは考えない）。

この梁を伝わる正弦波 $u=A\cos (kx-\omega t)$（$k>0$, $\omega >0$）について、位相速度 $\omega /k$ は $k$ のある値で最小になる。その波数での群速度 $\frac{d\omega }{dk}$ を $\mu$, $D$, $\kappa$ を用いて表せ。

長さ $L$、線密度 $\mu$ の一様な弦が張力 $T$ で張られ、両端 $x=0$ と $x=L$ で固定されている。弦の横変位 $y(x,t)$ は波動方程式
$$\mu \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$$
に従い、変位は十分小さく、重力・空気抵抗・減衰は無視できるものとする。

時刻 $t=0$ に、弦の点 $x=L/3$ をつまんで高さ $h$ まで引き上げ、弦が 2 本の線分からなる折れ線
$$y(x,0)=\{\begin{array}{ll}\frac{3h}{L}x& (0\le x\le L/3)\\ \frac{3h}{2L}(L-x)& (L/3\le x\le L)\end{array}$$
の形で静止した状態から静かに放した。

その後の運動で、弦の全力学的エネルギーのうち基本振動（最も振動数の低い基準振動）が担うエネルギーの割合を求めよ。答えは $\pi$ を含む正確な値で表せ。

なめらかな水平面上で、ばね（ばね定数は未知）で壁につながれた物体（質量は未知）が一直線上を運動する。物体には速度に比例する抵抗力（比例定数は未知）がはたらく。物体の位置 $x$ はばねが自然長のときを原点とする。

まず外力を加えずに物体を振動させたところ、物体は減衰振動をし、$x$ が極大になる時刻の間隔は $T_d$ で一定であり、続けて現れる 2 つの極大値の比（後の極大値 ÷ 前の極大値）は $r$ で一定であった。ただし $e^{-2\pi }<r<1$ とする。

次に、同じ物体に外力 $F_0\cos \omega t$（$F_0>0$ は一定、$\omega >0$）を加え、十分に時間がたった後の定常振動の振幅を $\omega$ の関数として調べる。振幅が最大となる角振動数 $\omega$ を、$T_d$ と $r$ を用いて表せ。

長さ $L$、線密度 $\mu$ の一様な弦が張力 $T$ で張られ、両端 $x=0$, $x=L$ で固定されている。弦の横変位 $y(x,t)$ は波動方程式
$$\mu \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$$
に従い、境界条件は $y(0,t)=y(L,t)=0$ である。

時刻 $t=0$ に、弦の点 $x=L/4$ をつまんで高さ $h$ まで引き上げ、弦が 2 本の線分からなる折れ線
$$y(x,0)=\{\begin{array}{ll}\frac{4h}{L}x& \left(0\le x\le \frac{L}{4}\right)\\ \frac{4h}{3L}(L-x)& \left(\frac{L}{4}\le x\le L\right)\end{array}$$
の形で静止している状態から、静かにはなした（$\partial y/\partial t(x,0)=0$）。$h$ は $L$ に比べて十分小さい。

その後の弦の振動を基準振動の重ね合わせで表すとき、弦の全力学的エネルギーのうち、基本振動（最も振動数の低い基準振動）が担うエネルギーの割合を求めよ。ただし、弦の運動エネルギーは ${\int }_0^L\frac{1}{2}\mu {\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)}^{2}dx$、位置エネルギーは ${\int }_0^L\frac{1}{2}T{\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)}^{2}dx$ とする。

水平で平らな底をもつ、一様な深さ $h$ の水の表面を伝わる微小振幅の重力波（表面張力は無視する）は、角振動数 $\omega >0$ と波数 $k>0$ の間に分散関係
$${\omega }^2=gk\tanh (kh)$$
を満たす。ここで $g$ は重力加速度の大きさである。

波数が $kh=\log 2$ を満たす波について、群速度 $v_g=\frac{d\omega }{dk}$ と位相速度 $v_p=\frac{\omega }{k}$ の比 $\frac{v_g}{v_p}$ を求めよ。答えは $\log 2$ を含む正確な形で表せ。

水平でなめらかなレールに沿って一直線上を動ける質量 $m$ の台があり、台はばね定数 $k$ のばねで壁につながれている。台の点 P から長さ $l$ の軽くて伸びない糸で質量 $m$ の小球をつるし、小球はレールを含む鉛直面内で振れる。台の位置（ばねが自然長のときからの変位、レールに沿って右向きを正）を $x$、糸が鉛直線となす角を $\theta$ とする。重力加速度の大きさを $g$ とし、ばね定数は $k=\frac{mg}{l}$ であるとする。空気抵抗・摩擦・糸とばねの質量は無視する。

$x$, $\theta$ が十分小さい微小振動を考え、$x,\theta ,\dot{x},\dot{\theta }$ について 2 次までの近似でラグランジアンを書くとき、この系の 2 つの基準振動の角振動数を ${\omega }_1$, ${\omega }_2$（$0<{\omega }_1<{\omega }_2$）とする。比 $\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}$ を求めよ。答えは根号を含む最も簡単な形で表せ。

質量 $M$ の同じ原子が直線上に間隔 $a$ で無限に並んだ 1 次元格子を考える。原子は直線に沿った方向にだけ動き、隣り合う原子どうし（距離 $a$）はばね定数 $K$ のばねで、1 つおいて隣の原子どうし（距離 $2a$）も同じばね定数 $K$ のばねでつながれているとみなす（調和近似）。$n$ 番目の原子のつり合いの位置からの変位を $u_n$ とし、$u_n\propto e^{i(kna-\omega t)}$ の形の格子波（波数 $k$、角振動数 $\omega >0$）を考える。

$0<k<\frac{\pi }{a}$ の範囲で、この格子波の群速度 $v_g=\frac{d\omega }{dk}$ が $0$ になる波数 $k$ を、$a$ を用いて表せ。

長さ $L$、線密度 $\mu$ の一様な弦が張力 $T$ で張られ、両端 $x=0$, $x=L$ が固定されている。弦の横変位 $y(x,t)$ は微小で、波動方程式
$$\mu \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$$
に従うものとする。弦の力学的エネルギーは
$$E={\int }_0^L\left\{\frac{\mu }{2}{\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)}^2+\frac{T}{2}{\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)}^2\right\}dx$$
で与えられ、減衰はないものとする。

時刻 $t=0$ に、弦の点 $x=\frac{L}{4}$ をつまんで横に $h$（$0<h\ll L$）だけ引き、弦が 2 本の線分からなる形になった状態から静かに（各点の速度 $0$ で）はなした。その後の運動を基準振動 $\sin \frac{n\pi x}{L}$（$n=1,2,3,\dots$）の重ね合わせで表すとき、弦の力学的エネルギー $E$ のうち、基本振動（$n=1$）がもつエネルギーの割合を求めよ。