振動・波動の問題

線密度 $\mu$、張力 $T$ で張られた十分に長い弦を考える（$\mu >0$, $T>0$）。この弦は曲げに対するかたさをもち、その大きさを表す定数を $\kappa >0$ とする。弦の微小な横変位 $y(x,t)$ は次の方程式に従う。
$$\mu \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}-\kappa \frac{{\partial }^{4}y}{\partial x^4}$$
この弦を、正弦波 $y=A\cos (kx-\omega t)$（$A\ne 0$, 波数 $k>0$, 角振動数 $\omega >0$）が伝わる。波数が $k=\sqrt{\frac{T}{\kappa }}$ のときの群速度 $v_g=\frac{d\omega }{dk}$ を、$T$, $\mu$ を用いて表せ。

線密度 $\mu$ の弦（$x<0$）と線密度 $4\mu$ の弦（$x>0$）を点 $x=0$ でつなぎ、全体を同じ張力 $T$ で $x$ 軸に沿って張る。$x<0$ の側から正弦波

$$y_{\mathrm{i}}=A\cos (\omega t-k_{1}x)$$

が入射し、接続点で反射波 $y_{\mathrm{r}}=B\cos (\omega t+k_{1}x)$ と透過波 $y_{\mathrm{t}}=C\cos (\omega t-k_{2}x)$ が生じる。ここで $k_1$, $k_2$ はそれぞれの弦での波数である。接続点では弦の変位と傾き $\frac{\partial y}{\partial x}$ が連続であるとする（重力は無視し、変位は小さいとする）。振幅の比 $\frac{B}{A}$ を求めよ。

長さ $L$、線密度 $\mu$ の一様な弦が、張力 $T$ で $x$ 軸に沿って張られている（$L>0$, $\mu >0$, $T>0$）。弦の端 $x=0$ は壁に固定されている。もう一方の端 $x=L$ には質量の無視できる小さな輪が付いており、この輪は $x=L$ に鉛直に立てたなめらかな棒に沿って $y$ 方向にだけ自由に動ける。弦の横変位 $y(x,t)$ は微小で、波動方程式
$$\mu \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}(0<x<L)$$
に従うものとし、重力・空気抵抗は無視する。

時刻 $t=0$ に弦を
$$y(x,0)=A{\sin }^3\frac{\pi x}{2L}(0\le x\le L)$$
の形にして静かに放した（$A>0$ は定数で、変位は十分小さい。すべての点の初速度は $0$）。$t\ge 0$ における輪の変位 $y(L,t)$ を、$A$, $L$, $\mu$, $T$, $t$ を用いて表せ。

線密度 $\mu =2.0\times 10^{-2}kg/m$ の一様な弦を、張力 $T=72\mathrm{N}$ で $x$ 軸に沿ってまっすぐに張る。弦の $x$ 軸からの横方向の変位を $y(x,t)$ とすると、変位と傾きが小さいとき（張力の大きさは一定とみなし、重力は無視する）、弦の微小部分の運動方程式から

$$\mu \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$$

が成り立つ。この弦を伝わる横波の速さは何 $m/s$ か。整数で求めよ。

長さ $L=0.80\mathrm{m}$、線密度 $\mu =1.0\times 10^{-2}kg/m$ の一様な弦を、張力 $T=64\mathrm{N}$ で張り、両端 $x=0$, $x=L$ を固定する。弦の横方向の変位 $y(x,t)$ は波動方程式

$$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=v^2\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2},v=\sqrt{\frac{T}{\mu }}$$

に従い、境界条件 $y(0,t)=y(L,t)=0$ を満たすとする（重力は無視する）。この弦の基準振動の角振動数を小さい順に ${\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3,\dots$ とするとき、${\omega }_3$ は何 $rad/s$ か。$\pi$ を用いた正確な値で求めよ。