振動・波動の問題

境界条件 端 $x=0$ は固定なので $y(0,t)=0$。端 $x=L$ の輪は質量が無視でき、なめらかな棒から受ける力は $x$ 方向だけなので、輪にはたらく $y$ 方向の力は弦の張力の $y$ 成分 $-T\frac{\partial y}{\partial x}(L,t)$ だけである。質量 $0$ の輪で運動方程式が成り立つにはこれが $0$ でなければならないので
$$\frac{\partial y}{\partial x}(L,t)=0$$
（自由端）。

固有振動 $v=\sqrt{T/\mu }$ とおくと方程式は $\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=v^2\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$。変数分離 $y=X(x)\Theta (t)$ により $X^{\prime \prime }=-k^{2}X$、$\ddot{\Theta }=-{\omega }^2\Theta$、$\omega =vk$。$X(0)=0$ から $X=\sin kx$、$X^{\prime }(L)=k\cos kL=0$ から
$$k_n=\frac{(2n-1)\pi }{2L},{\omega }_n=\frac{(2n-1)\pi v}{2L}(n=1,2,\dots )$$
したがって一般解は
$$y(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos {\omega }_{n}t+b_n\sin {\omega }_{n}t\right)\sin k_{n}x$$
初速度が $0$ なので $\frac{\partial y}{\partial t}(x,0)=\sum b_n{\omega }_n\sin k_{n}x=0$ より、関数 $\sin k_{n}x$ の直交性からすべての $b_n=0$。

初期形の展開 $\theta =\frac{\pi x}{2L}$ とおくと、3 倍角の公式 $\sin 3\theta =3\sin \theta -4{\sin }^3\theta$ より
$$y(x,0)=A{\sin }^3\theta =\frac{3A}{4}\sin \frac{\pi x}{2L}-\frac{A}{4}\sin \frac{3\pi x}{2L}$$
これは $n=1$（$k_1=\pi /2L$）と $n=2$（$k_2=3\pi /2L$）のモードだけの和なので、直交性から $a_1=\frac{3A}{4}$, $a_2=-\frac{A}{4}$、ほかの $a_n=0$。よって
$$y(x,t)=\frac{3A}{4}\sin \frac{\pi x}{2L}\cos {\omega }_{1}t-\frac{A}{4}\sin \frac{3\pi x}{2L}\cos 3{\omega }_{1}t,{\omega }_1=\frac{\pi }{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu }}$$
（${\omega }_2=3{\omega }_1$ を用いた）。

輪の変位 $x=L$ では $\sin \frac{\pi }{2}=1$, $\sin \frac{3\pi }{2}=-1$ なので
$$y(L,t)=\frac{3A}{4}\cos {\omega }_{1}t+\frac{A}{4}\cos 3{\omega }_{1}t$$
3 倍角の公式 $\cos 3\varphi =4{\cos }^3\varphi -3\cos \varphi$ を用いると $\frac{3}{4}\cos \varphi +\frac{1}{4}\cos 3\varphi ={\cos }^3\varphi$ だから
$$y(L,t)=A{\cos }^3\left(\frac{\pi t}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu }}\right)$$

輪は質量が無視でき棒になめらかに沿って動くので、輪には $y$ 方向の力が働かない。したがって弦の端 $x=L$ では張力の $y$ 成分が $0$ となり、境界条件は $\partial y/\partial x(L,t)=0$（自由端）である。$x=0$ は固定端なので $y(0,t)=0$ である。

固有モードは $\sin k_{n}x$ の形で、$x=L$ で $\cos k_{n}L=0$ となる必要がある。よって $k_n=\frac{(2n+1)\pi }{2L}$（$n=0,1,2,\dots$）、角振動数は ${\omega }_n=k_n\sqrt{T/\mu }$ である。

初期形を三倍角の公式で展開する。${\sin }^3\theta =\frac{3\sin \theta -\sin 3\theta }{4}$ で $\theta =\frac{\pi x}{2L}$ とおくと
$$y(x,0)=\frac{3A}{4}\sin \frac{\pi x}{2L}-\frac{A}{4}\sin \frac{3\pi x}{2L}$$
となる。これは $n=0$ と $n=1$ のモードだけからなる。初速度は $0$ なので各モードは $\cos {\omega }_{n}t$ で振動する。$\omega =\frac{\pi }{2L}\sqrt{T/\mu }$ とおくと、$n=0$ のモードの角振動数は $\omega$、$n=1$ のモードは $3\omega$ である。
$$y(x,t)=\frac{3A}{4}\sin \frac{\pi x}{2L}\cos \omega t-\frac{A}{4}\sin \frac{3\pi x}{2L}\cos 3\omega t$$

$x=L$ では $\sin \frac{\pi }{2}=1$、$\sin \frac{3\pi }{2}=-1$ なので
$$y(L,t)=\frac{3A}{4}\cos \omega t+\frac{A}{4}\cos 3\omega t,\omega =\frac{\pi }{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu }}.$$

検算：$t=0$ では $y(L,0)=\frac{3A}{4}+\frac{A}{4}=A=A{\sin }^3\frac{\pi }{2}$ となり、初期条件と一致する。