波の要素と波の基本式

$x$ 軸の正の向きに進む正弦波がある。ある瞬間の波形で、山から隣の山までの距離は $2.0\mathrm{m}$ である。また、媒質の各点が 1 回振動するのにかかる時間は $0.50\mathrm{s}$ である。この波の速さは何 $m/s$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

$x$ 軸の正の向きに進む正弦波がある。この波の波長は $2.0\mathrm{m}$ で、媒質の各点が 1 回振動するのにかかる時間（周期）は $0.25\mathrm{s}$ である。この波の速さは何 $m/s$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

静かな池の水面を、正弦波が一定の速さ $0.60m/s$ で伝わっている。水面に浮かべた小さな浮きは、波によって上下に振動し、$10\mathrm{s}$ の間にちょうど $20$ 回振動した。この波の波長は何 $\mathrm{m}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

鉛直に立てたガラス管に水を入れ、水面の高さを自由に変えられるようにした。管の上端は開いている。管口の近くで振動数 $680\mathrm{Hz}$ のおんさを鳴らしながら、水面を管口の位置から少しずつ下げていくと、管口から水面までの距離が $11.8\mathrm{cm}$ のとき初めて大きな音が聞こえ（共鳴し）、次に $37.0\mathrm{cm}$ のとき 2 回目の共鳴が起こった。

このときの空気中の音速は何 $m/s$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

$x$ 軸の正の向きに進む正弦波がある。位置 $x$〔m〕、時刻 $t$〔s〕における媒質の変位 $y$〔m〕が
$$y=0.040\sin \pi \left(8.0t-0.50x\right)$$
と表されるとき、この波の伝わる速さは何 $m/s$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

両端 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ を固定して張った長さ $0.60\mathrm{m}$ の弦がある。この弦を伝わる横波の速さは $240m/s$ である。弦の中央をはじくと、いくつかの固有振動が同時に起こる。

この弦の固有振動のうち、両端以外に節が $2$ 個ある振動の振動数は何 $\mathrm{Hz}$ か。

長さ $0.85\mathrm{m}$ の細い管があり、両端とも開いている（開管）。この管の中の気柱に固有振動が起こるとき、両端は定常波の腹になるものとする。音速を $340m/s$ とし、開口端補正は無視する。

気柱の固有振動のうち、管の中に節が $2$ 個できる振動の振動数は何 $\mathrm{Hz}$ か。

十分に深い海の表面を伝わる微小振幅の重力波（表面張力は無視する）は、角振動数 $\omega >0$ と波数 $k>0$ の間に分散関係
$${\omega }^2=gk$$
を満たす。ここで $g$ は重力加速度の大きさである。

沖合の嵐の領域で発生したうねり（周期 $\tau$ の成分がそろった波束）が、海面に沿って一直線に距離 $D$ だけ離れた海岸に向かって進む。波束のエネルギー（波束の包絡線）は群速度で伝わるものとし、途中で海の深さや風の影響は変わらないとする（$\tau >0$, $D>0$）。周期 $\tau$ の成分の波束が、嵐の領域から海岸に届くまでにかかる時間を、$g,\tau ,D$ を用いて表せ。

質量 $m$ の等しい質点が、ばね定数 $K$ の等しいばねで一直線上に無限に並んでつながれている（1 次元の単原子格子、$m>0$, $K>0$）。つり合いの位置での隣り合う質点の間隔は $a$（$a>0$）である。$n$ 番目の質点のつり合いの位置からの変位を $u_n(t)$ とすると、運動方程式は
$$m\frac{d^2{u}_n}{d{t}^2}=K\left(u_{n+1}-2u_n+u_{n-1}\right)$$
である。

この格子を伝わる波 $u_n(t)=A\cos (kna-\omega t)$（$A\ne 0$、$\omega >0$、波数 $k$ は $0<k\le \pi /a$）を考える。波長が $3a$ の波について、群速度 $v_g$ と位相速度 $v_p$ の比 $\frac{v_g}{v_p}$ を求めよ。答えは根号と $\pi$ を用いた正確な値で答えよ。

$x$ 軸にそって張られたじゅうぶん長いひもを、$x$ 軸の正の向きに正弦波が速さ $2.0m/s$ で伝わっている。原点 $\mathrm{O}$（$x=0$）でのひもの変位 $y$ [m] は、時刻 $t$ [s] を用いて
$$y=0.050\sin \left(\frac{2\pi }{0.40}t\right)$$
と表される。変位は $y$ 軸の正の向き（$x$ 軸に垂直な向き）を正とし、波は減衰しないものとする。

時刻 $t=0.50\mathrm{s}$ における、位置 $x=0.30\mathrm{m}$ のひもの変位 $y$ は何 m か。有効数字 2 桁で求めよ。

$x$ 軸にそって張られたひもを伝わる横波がある。位置 $x$〔m〕、時刻 $t$〔s〕におけるひもの変位 $y$〔m〕が
$$y=0.050\sin 2\pi \left(5.0t-0.25x\right)$$
と表される。ひもの各点は $y$ 軸の方向に単振動している。

ひもの各点が振動するときの速さの最大値は何 $m/s$ か。有効数字 2 桁で求めよ。円周率は $3.14$ とする。

線密度（単位長さあたりの質量）$2.0\times 10^{-3}kg/m$ の弦の一端を点 $\mathrm{A}$ に固定し、弦を水平に張って、点 $\mathrm{A}$ から $0.60\mathrm{m}$ 離れた位置にある滑車の上端 $\mathrm{B}$ にかけ、他端に質量 $M$ のおもりをつるした。弦の $\mathrm{AB}$ 間をはじいたところ、$\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ を節とし、腹が 3 個ある定常波ができた。

この弦の振動で生じた音を、鉛直に立てたガラス管の上端（開口端）の近くで鳴らした。ガラス管の下部には水が入っており、水面の位置を上端から下げていくと、水面が上端から $15.8\mathrm{cm}$ の位置にきたとき初めて共鳴が起こり、次に $49.8\mathrm{cm}$ の位置にきたとき再び共鳴が起こった。

空気中の音の速さを $340m/s$、重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。弦を伝わる波の速さ $v$ は、弦の張力の大きさ $S$ と線密度 $\rho$ を用いて $v=\sqrt{\frac{S}{\rho }}$ で表される。おもりの質量 $M$ は何 kg か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、弦の張力の大きさはおもりにはたらく重力の大きさに等しく、開口端補正はどちらの共鳴でも同じとする。また、弦の振動数とガラス管内の音の振動数は等しく、振動中に弦の張力は変わらないものとする。

$x$ 軸上に張られた長いひもを、正弦波が $x$ 軸の正の向きに進んでいる。ひもの各点の変位 $y$ は $x$ 軸に垂直な向きにとる。原点 $\mathrm{O}$ の位置にあるひもの点の、時刻 $t$ における変位は
$$y=A\sin \frac{2\pi t}{T}$$
と表される。ここで $A>0$, $T>0$ は定数である。波は減衰せず、反射波はないものとする。

$x=d$（$d>0$）の位置にあるひもの点 $\mathrm{P}$ を観察したところ、時刻 $t=0$ のあと、$\mathrm{P}$ の変位が初めて $A$ になったのは時刻 $t=\frac{T}{12}$ であった。また、この波の波長は $d$ より長いことがわかっている。

この波の伝わる速さを、$d$, $T$ を用いて表せ。