波動の問題

上端が開いた鉛直なガラス管の中に水を入れ、管口から水面までの距離を変えられるようにした。管口の近くで振動数 $500\mathrm{Hz}$ のおんさを鳴らし続けながら、水面を管口の位置からゆっくり下げていった。すると、管口から水面までの距離が $16.3\mathrm{cm}$ のとき初めて共鳴が起こり、次に $50.5\mathrm{cm}$ のとき 2 回目の共鳴が起こった。管内の空気の温度は一定で、音速は変わらないものとする。このときの音速は何 $m/s$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

ガラス管を鉛直に立て、管の中の水面の高さを上下に動かせるようにした気柱共鳴装置がある。管の上端（管口）は開いており、水面が管の下端となる閉管とみなせる。管口の近くで振動数 $440\mathrm{Hz}$ のおんさを鳴らしながら、水面を管口の位置から少しずつ下げていった。すると、管口から水面までの距離が $18.5\mathrm{cm}$ のときに初めて共鳴が起こり、次に $57.5\mathrm{cm}$ のときに 2 回目の共鳴が起こった。開口端補正（管口の外側にできる腹の位置のずれ）は 2 回の共鳴で同じとし、気温は一定とする。このときの音速は何 $m/s$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

線密度（単位長さあたりの質量）$2.0\times 10^{-3}kg/m$ の弦の一端を点 $\mathrm{A}$ に固定し、弦を水平に張って、点 $\mathrm{A}$ から $0.60\mathrm{m}$ 離れた位置にある滑車の上端 $\mathrm{B}$ にかけ、他端に質量 $M$ のおもりをつるした。弦の $\mathrm{AB}$ 間をはじいたところ、$\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ を節とし、腹が 3 個ある定常波ができた。

この弦の振動で生じた音を、鉛直に立てたガラス管の上端（開口端）の近くで鳴らした。ガラス管の下部には水が入っており、水面の位置を上端から下げていくと、水面が上端から $15.8\mathrm{cm}$ の位置にきたとき初めて共鳴が起こり、次に $49.8\mathrm{cm}$ の位置にきたとき再び共鳴が起こった。

空気中の音の速さを $340m/s$、重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。弦を伝わる波の速さ $v$ は、弦の張力の大きさ $S$ と線密度 $\rho$ を用いて $v=\sqrt{\frac{S}{\rho }}$ で表される。おもりの質量 $M$ は何 kg か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、弦の張力の大きさはおもりにはたらく重力の大きさに等しく、開口端補正はどちらの共鳴でも同じとする。また、弦の振動数とガラス管内の音の振動数は等しく、振動中に弦の張力は変わらないものとする。

長さ $0.85\mathrm{m}$ の細い管があり、両端とも開いている（開管）。この管の中の気柱に固有振動が起こるとき、両端は定常波の腹になるものとする。音速を $340m/s$ とし、開口端補正は無視する。

気柱の固有振動のうち、管の中に節が $2$ 個できる振動の振動数は何 $\mathrm{Hz}$ か。

広い水そうに水を深さ $0.60\mathrm{m}$ まで入れ、底に小さな点光源 $\mathrm{L}$ を置いた。水面は水平で静止している。$\mathrm{L}$ の真上の水面に、うすい円板を、その中心が $\mathrm{L}$ の真上にくるように浮かべる。円板は光を通さない。

水面より上のどの位置から見ても、$\mathrm{L}$ から出た光が水面から空気中へ出てこないようにしたい。そのために必要な円板の半径の最小値は何 $\mathrm{m}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、水の屈折率を $\frac{4}{3}$、空気の屈折率を $1$ とし、円板の厚さと、水そうの壁や底での光の反射は無視する。必要なら $\sqrt{7}=2.65$ を用いよ。