波の重ね合わせ・反射と定常波

固定端・自由端での反射波の式を書き、入射波との重ね合わせで定常波 $y = 2 A sin k x cos ω t$ の形を導いて、節・腹の位置（間隔 $\frac{λ}{2}$ ）や各点の振幅を求められる

前提

正弦波の式（高校物理波動）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）

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算数中学高校大学大学院

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正弦波の式（高校物理波動）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）

説明

向かい合って進む2つの波が重なると、各点の変位は2つの波の変位の和になります（重ね合わせの原理）。ひもの端で反射した波と、端に向かう波（入射波）が重なると、形が左右に進まず、その場で振動するだけの波（定常波）ができます。この技能では、固定端・自由端での反射波の式を書き、入射波と足して $y = 2 A sin k x cos ω t$ の形を導きます。そこから、節（まったく振動しない点）や腹（最も大きく振動する点）の位置と、各点の振幅を求めます。弦や気柱の振動を考える土台になります。

なぜそうしてよいのか

端を原点 $x = 0$ にとり、媒質は $x \geq 0$ の側にあるとします。 $x$ 軸の負の向きに進んで端へ向かう入射波は、 $ω = \frac{2 π}{T}$ 、 $k = \frac{2 π}{λ}$ と書くと、 $y_{1} = A sin 2 π (\frac{t}{T} + \frac{x}{λ}) = A sin (ω t + k x)$ です。反射波は同じ振幅・周期・波長のまま正の向きに進むので、 $sin (ω t - k x)$ の形になります。残る問題は符号で、これは端での条件で決まります。固定端では、端の点は動けないので、どの時刻 $t$ でも $x = 0$ で $y_{1} + y_{2} = 0$ です。 $y_{1} = A sin ω t$ を打ち消すには $y_{2} = - A sin (ω t - k x)$ とします（波が上下逆さまになって返る）。自由端では、端は自由に動けるので、反射波は入射波と同じ変位で返ります。つまり $y_{2} = + A sin (ω t - k x)$ です。

2つを足すと、加法定理 $sin (a \pm b) = sin a cos b \pm cos a sin b$ より、
$sin (a + b) - sin (a - b) = 2 cos a sin b, sin (a + b) + sin (a - b) = 2 sin a cos b$
となります。よって、固定端では $y = 2 A sin k x cos ω t$ 、自由端では $y = 2 A cos k x sin ω t$ です。

この式では、 $x$ を含む部分と $t$ を含む部分が掛け算に分かれています。そのため、位置 $x$ の点は振幅 $2 A ∣ sin k x ∣$ （自由端なら $2 A ∣ cos k x ∣$ ）で単振動するだけで、波形は進みません。 $sin k x = 0$ となる $x = 0, \frac{λ}{2}, λ, \dots$ が節です。 $∣ sin k x ∣ = 1$ となる $x = \frac{λ}{4}, \frac{3 λ}{4}, \dots$ が腹です。 $k x$ が $π$ 増えるごと、つまり $x$ が $\frac{λ}{2}$ 増えるごとに同じことがくり返されるので、節と節（腹と腹）の間隔は $\frac{λ}{2}$ 、節と隣の腹の間隔は $\frac{λ}{4}$ です。

手順

反射する端を原点 $x = 0$ にとり、入射波の式を $ω = \frac{2 π}{T}$ 、 $k = \frac{2 π}{λ}$ を使って書く（負の向きに進むなら $y_{1} = A sin (ω t + k x)$ ）。
反射波を逆向きの式で書き、端の種類で符号を決める。固定端なら $y_{2} = - A sin (ω t - k x)$ 、自由端なら $y_{2} = A sin (ω t - k x)$ 。 $x = 0$ を代入し、固定端では $y_{1} + y_{2} = 0$ になることを確かめる。
$y = y_{1} + y_{2}$ を加法定理で変形し、定常波の形にする。固定端なら $y = 2 A sin k x cos ω t$ 、自由端なら $y = 2 A cos k x sin ω t$ 。
時刻を含まない部分の絶対値から、各点の振幅を読む。固定端なら $2 A ∣ sin k x ∣$ 、自由端なら $2 A ∣ cos k x ∣$ 。これが $0$ の点が節、 $2 A$ の点が腹で、節どうしの間隔は $\frac{λ}{2}$ になる。

例題

$x \geq 0$ の範囲に張られたひもがあり、 $x = 0$ の端は壁に固定されている（固定端）。このひもを、 $x$ 軸の負の向きに進む入射波 $y_{1} = A sin 2 π (\frac{t}{T} + \frac{x}{λ})$ が伝わってくる（ $A > 0$ ）。入射波と固定端での反射波が重なってできる波について、位置 $x = \frac{λ}{12}$ の点の振幅を $A$ を用いて表せ。

例題の解答

手順1： $ω = \frac{2 π}{T}$ 、 $k = \frac{2 π}{λ}$ とおくと、入射波は $y_{1} = A sin (ω t + k x)$ と書ける。

手順2：反射波は正の向きに進み、固定端で上下逆さまに返るので $y_{2} = - A sin (ω t - k x)$ とする。 $x = 0$ を代入すると $y_{1} + y_{2} = A sin ω t - A sin ω t = 0$ となり、端が動かない条件を満たしている。

手順3：加法定理を使って足すと、 $y = A {sin (ω t + k x) - sin (ω t - k x)} = 2 A sin k x cos ω t$ となる。

手順4：位置 $x$ の点の振幅は $2 A ∣ sin k x ∣$ である。 $x = \frac{λ}{12}$ のとき $k x = \frac{2 π}{λ} \cdot \frac{λ}{12} = \frac{π}{6}$ なので、振幅は $2 A sin \frac{π}{6} = 2 A \cdot \frac{1}{2} = A$ 。

（参考：この点は、 $x = 0$ の節と $x = \frac{λ}{4}$ の腹の間にある。）

答え: $A$

よくある誤り

固定端でも反射波を $y_{2} = + A sin (ω t - k x)$ と書いてしまう誤り。足すと $2 A cos k x sin ω t$ になり、端 $x = 0$ が腹になって「端は動かない」に反する。正しくは $y_{2} = - A sin (ω t - k x)$ で、 $x = 0$ で $y_{1} + y_{2} = 0$ になることを必ず確かめる。
反射波の進む向きを入射波と同じまま $sin (ω t + k x)$ と書いてしまう誤り。反射波は逆向きに進むので、入射波が $sin (ω t + k x)$ なら反射波は $sin (ω t - k x)$ の形になる。
節と節の間隔を波長 $λ$ としてしまう誤り。 $sin k x = 0$ となる $k x = 0, π, 2 π, \dots$ は $x = 0, \frac{λ}{2}, λ, \dots$ なので、正しくは間隔 $\frac{λ}{2}$ 。節と隣の腹の間隔は $\frac{λ}{4}$ である。
振幅を $2 A sin k x$ のまま答え、負の値を出してしまう誤り。たとえば $x = \frac{2 λ}{3}$ では $2 A sin \frac{4 π}{3} = - 3 A$ となる。振幅は正の量なので、正しくは絶対値をとって $2 A ∣ sin k x ∣ = 3 A$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$x$ 軸にそって張られたひもの、 $x = 8.0 m$ の位置の点 $Q$ が壁に固定されている（固定端）。 $x < 8.0 m$ の部分を、 $x$ 軸の正の向きに進む正弦波（入射波）が伝わっており、位置 $x$ 〔m〕、時刻 $t$ 〔s〕における入射波の変位 $y$ 〔m〕は
$y = 0.020 sin π (10 t - \frac{x}{3})$
と表される。入射波は $Q$ で振幅を変えずに反射し、反射波は $x$ 軸の負の向きに進む。十分時間がたったあと、ひもには入射波と反射波が重なり合った波ができている。
$x = 7.0 m$ の位置にある点 $P$ の振動の振幅は何 $cm$ か。有効数字 2 桁で求めよ。
$P$ $Q$ $x$ $y$ $O$ $7.0$ $8.0$ 入射波の進む向き

この技能の次に学べること

弦の固有振動（高校物理波動）
気柱の固有振動と共鳴（高校物理波動）
光共振器の縦モードと線幅（大学物理原子・分子物理とレーザー）