波動の問題

手順 1：反射波の式を書く

反射波は振幅 $2\text{cm}$、周期 $0.50\text{s}$、波長 $120\text{cm}$ のまま $x$ 軸の正の向きに進むので、$\sin 2\pi \left(\frac{t}{0.50}-\frac{x}{120}\right)$ の形をもつ。

固定端 $x=0$ では弦が動けないので、どの時刻でも入射波と反射波の変位の和が $0$ でなければならない。つまり、固定端では反射波は入射波と逆の位相（符号が逆）になる。よって
$$y_2=-2\sin 2\pi \left(\frac{t}{0.50}-\frac{x}{120}\right)$$
（確かめ：$x=0$ で $y_1+y_2=2\sin \frac{2\pi t}{0.50}-2\sin \frac{2\pi t}{0.50}=0$。）

手順 2：重ね合わせて定常波の式にする

$\alpha =\frac{2\pi t}{0.50}$, $\beta =\frac{2\pi x}{120}$ とおくと、重ね合わせの原理より
$$y=y_1+y_2=2\{\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )\}$$
加法定理より
$$\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )=(\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta )-(\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta )=2\cos \alpha \sin \beta$$
なので
$$y=4\sin \frac{2\pi x}{120}\cos \frac{2\pi t}{0.50}$$
これは $y=2A\sin kx\cos \omega t$（$A=2$）の形の定常波である。位置 $x$ の点は、振幅 $\left|4\sin \frac{2\pi x}{120}\right|$ で単振動する。

手順 3：点 P の振幅を求める

$x=20$ を代入すると
$$\frac{2\pi \times 20}{120}=\frac{\pi }{3}$$
なので、点 $\mathrm{P}$ の振幅は
$$4\sin \frac{\pi }{3}=4\times \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\text{cm}$$
（約 $3.5\text{cm}$。腹の振幅 $4\text{cm}$ より小さい。点 P は節 $x=0$ と腹 $x=30\text{cm}$ のあいだにあることとも合う。）

入射波は $y_1=2\sin 2\pi \left(\frac{t}{0.50}+\frac{x}{120}\right)$ で、振幅 2 cm、周期 0.50 s、波長 $\lambda =120$ cm である。
固定端 $x=0$ で反射するとき位相が $\pi$ ずれる（反転する）ので、反射波は
$y_2=-2\sin 2\pi \left(\frac{t}{0.50}-\frac{x}{120}\right)$ となる。
確認：$x=0$ で $y_1+y_2=2\sin (2\pi t/0.5)-2\sin (2\pi t/0.5)=0$ となり、固定端の条件を満たす。

合成すると
$y=y_1+y_2=2[\sin (A+B)-\sin (A-B)]=4\cos A\sin B$
ただし $A=2\pi t/0.50$、$B=2\pi x/120$。
よって $y=4\sin \left(\frac{2\pi x}{120}\right)\cos \left(\frac{2\pi t}{0.50}\right)$ である。

定常波の振幅は $4\left|\sin \frac{2\pi x}{120}\right|$。$x=20$ cm では
$4\sin \frac{2\pi \cdot 20}{120}=4\sin \frac{\pi }{3}=4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$ cm。

検算：波長 120 cm なので $x=20$ cm は節 $x=0$ から $\lambda /6$ の位置。腹（$x=30$ cm）での振幅 4 cm に対し、$4\sin (\pi /3)=2\sqrt{3}\approx 3.46$ cm となり妥当。