波動の問題

入射波の要素

入射波の式を $y=A\sin \left(\frac{2\pi }{T}t-\frac{2\pi }{\lambda }x\right)$ と比べると
$$A=0.020\mathrm{m},\frac{2\pi }{\lambda }=\frac{\pi }{3}\text{より}\lambda =6.0\mathrm{m}$$
である。

反射波の式

$\mathrm{Q}$ は固定端なので、$\mathrm{Q}$ では入射波と反射波の変位の和がつねに $0$ になる。つまり、反射波は $\mathrm{Q}$ で位相が $\pi$ ずれて（変位の符号が逆になって）はね返る。$\mathrm{Q}$（$x=8.0$）から $\mathrm{P}$ のように左側の点 $x$ までは、反射波は $\mathrm{Q}$ を出てから距離 $8.0-x$ 進む。入射波が原点から $\mathrm{Q}$ を経て $x$ に届くまでに進む距離は $8.0+(8.0-x)=16.0-x$ なので、反射波は
$$y_{\text{r}}=-0.020\sin \pi \left(10t-\frac{16.0-x}{3}\right)$$
と表される（$x=8.0$ を代入すると入射波と打ち消し合い、固定端の条件をみたす）。

合成波の振幅

$a=\pi \left(10t-\frac{x}{3}\right)$, $b=\pi \left(10t-\frac{16.0-x}{3}\right)$ とおくと、$\sin a-\sin b=2\cos \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}$ より
$$\frac{a-b}{2}=\frac{\pi }{3}(8.0-x),\frac{a+b}{2}=\pi \left(10t-\frac{8.0}{3}\right)$$
$$y+y_{\text{r}}=2\times 0.020\sin \frac{\pi (8.0-x)}{3}\cos \pi \left(10t-\frac{8.0}{3}\right)$$
となる。これは定常波で、位置 $x$ の点は振幅 $2\times 0.020\left|\sin \frac{\pi (8.0-x)}{3}\right|$ で単振動する。

$\mathrm{P}$（$x=7.0$）では $8.0-x=1.0$ なので
$$2\times 0.020\times \sin \frac{\pi }{3}=0.040\times \frac{\sqrt{3}}{2}=0.020\sqrt{3}\approx 0.0346\mathrm{m}$$
よって、振幅は $3.46\mathrm{cm}$ で、有効数字 2 桁で $3.5\mathrm{cm}$ である。

（別解：固定端は定常波の節で、節の間隔は $\frac{\lambda }{2}=3.0\mathrm{m}$、節から距離 $s$ の点の振幅は $2A\left|\sin \frac{2\pi s}{\lambda }\right|$ である。$s=1.0\mathrm{m}$ を代入しても同じ結果になる。）

入射波 $y_1=0.020\sin \left(10\pi t-\frac{\pi }{3}x\right)$ より、波数 $k=\frac{\pi }{3}rad/m$、角振動数 $\omega =10\pi rad/s$、振幅 $A=0.020\mathrm{m}$。
固定端 $x=8.0\mathrm{m}$ では変位が常に 0。反射波は位相が $\pi$ ずれて負の向きに進むので
$$y_2=-0.020\sin \left(10\pi t+\frac{\pi }{3}(x-16)\right)$$
と書ける（$x=8$ で $y_1+y_2=0$ を確かめる: $y_1=0.020\sin (10\pi t-\frac{8\pi }{3})$、$y_2=-0.020\sin (10\pi t-\frac{8\pi }{3})$ で和は 0）。
重ね合わせると、固定端からの距離 $s=8.0-x$ を用いて定常波
$$y=y_1+y_2=2A\sin (ks)\cos (\omega t-\dots )$$
となり、位置 $x$ での振幅は
$$2A\left|\sin \frac{\pi }{3}(8.0-x)\right|$$
$x=7.0\mathrm{m}$ では $s=1.0\mathrm{m}$ なので
$$2\times 0.020\times \sin \frac{\pi }{3}=0.040\times \frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.03464\mathrm{m}=3.464\mathrm{cm}$$
有効数字 2 桁で $3.5\mathrm{cm}$。
検算: 波長 $\lambda =\frac{2\pi }{k}=6.0\mathrm{m}$。固定端（節）から $1.0\mathrm{m}$ は $\lambda /6$ なので、振幅は $2A\sin (2\pi /6)=2A\sin 60^{\circ }$ で一致する。