正弦波の式

原点の振動 $y = A sin \frac{2 π t}{T}$ から、 $x$ 軸の正（負）の向きに進む正弦波の式 $y = A sin 2 π (\frac{t}{T} \mp \frac{x}{λ})$ を書け、与えられた式から振幅・周期・波長・速さを読み取り、ある位置・時刻の変位を求められる

前提

波の要素と波の基本式（高校物理波動）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）

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算数中学高校大学大学院

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説明

原点の媒質の振動の式と波の速さがわかると、 $x$ 軸上のどの位置の媒質が、どの時刻にどれだけ変位しているかを 1 本の式 $y (x, t)$ で表せます。これが正弦波の式です。逆に、与えられた正弦波の式から振幅・周期・波長・速さ・進む向きを読み取ることもできます。波のグラフを描かずに、特定の位置・時刻の変位を計算したいときに使います。

なぜそうしてよいのか

原点 O の媒質が $y = A sin \frac{2 π t}{T}$ で振動し、その振動が速さ $v$ で $x$ 軸の正の向きに伝わるとします。位置 $x (> 0)$ の媒質は、原点の振動が届くまでの時間 $\frac{x}{v}$ だけ遅れて、原点と同じ振動をくり返します。つまり「位置 $x$ の時刻 $t$ の変位」は「原点の時刻 $t - \frac{x}{v}$ の変位」に等しくなります。原点の式の $t$ を $t - \frac{x}{v}$ に置きかえると
$y = A sin \frac{2 π}{T} (t - \frac{x}{v}) = A sin 2 π (\frac{t}{T} - \frac{x}{v T})$
となり、波の基本式から $v T = \frac{v}{f} = λ$ なので $y = A sin 2 π (\frac{t}{T} - \frac{x}{λ})$ が得られます。

波が $x$ 軸の負の向きに進むときは、振動が位置 $x (> 0)$ を先に通ってから原点に届きます。そのため位置 $x$ の媒質は原点より $\frac{x}{v}$ だけ早く同じ変位になり、 $t$ を $t + \frac{x}{v}$ に置きかえて $y = A sin 2 π (\frac{t}{T} + \frac{x}{λ})$ となります。 $x < 0$ の位置でも同じ式が成り立ちます。まとめると、 $sin$ の中の $x$ の前の符号が「 $-$ なら正の向き、 $+$ なら負の向き」に進む波です。

この式では、 $t$ が $T$ 増えるごとに、また $x$ が $λ$ 増えるごとに、 $sin$ の中身がちょうど $2 π$ だけ変わります。 $sin$ は周期 $2 π$ の関数なので、変位は時間について周期 $T$ 、場所について周期 $λ$ でくり返します。だから式の形を見比べれば $T$ と $λ$ が読み取れます。なお、この式は振動がすでにその位置に届いている時刻について成り立ちます。

手順

原点の振動の式 $y = A sin \frac{2 π t}{T}$ から、振幅 $A$ と周期 $T$ を読み取る
波の速さ $v$ と周期 $T$ から、波長を $λ = v T$ で求める
進む向きに応じて式を書く。正の向きなら $y = A sin 2 π (\frac{t}{T} - \frac{x}{λ})$ 、負の向きなら $y = A sin 2 π (\frac{t}{T} + \frac{x}{λ})$ （式が与えられているときは、この形と見比べて $A, T, λ$ と向きを読み取り、速さは $v = \frac{λ}{T}$ で求める）
求めたい位置 $x$ と時刻 $t$ を代入し、 $sin$ の中身を弧度法の角として計算して、変位 $y$ を求める

例題

$x$ 軸上を伝わる正弦波がある。原点 O の媒質は、時刻 $t$ [s] において変位 $y = 0.20 sin \frac{2 π t}{0.40}$ [m] で振動している。この振動は $t = 0$ 以前から続いており、 $x$ 軸の正の向きに速さ $5.0$ m/s で伝わる。位置 $x = 0.50$ m の媒質の、時刻 $t = 0.20$ s での変位は何 m か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順1：原点の式 $y = 0.20 sin \frac{2 π t}{0.40}$ と $y = A sin \frac{2 π t}{T}$ を見比べて、 $A = 0.20$ m、 $T = 0.40$ s。

手順2：波長は $λ = v T = 5.0 \times 0.40 = 2.0$ m。

手順3：正の向きに進むので
$y = 0.20 sin 2 π (\frac{t}{0.40} - \frac{x}{2.0})$

手順4： $x = 0.50$ 、 $t = 0.20$ を代入すると、 $\frac{0.20}{0.40} - \frac{0.50}{2.0} = 0.50 - 0.25 = 0.25$ なので
$y = 0.20 sin (2 π \times 0.25) = 0.20 sin \frac{π}{2} = 0.20 \times 1 = 0.20$

（確かめ：振動が $x = 0.50$ m に届くのにかかる時間は $\frac{0.50}{5.0} = 0.10$ s です。 $t = 0.20$ s の変位は、原点の $t = 0.10$ s の変位 $0.20 sin \frac{2 π \times 0.10}{0.40} = 0.20 sin \frac{π}{2} = 0.20$ m と一致します。）

よって変位は $0.20$ m。

答え: $0.20$

よくある誤り

正の向きに進む波を $y = A sin 2 π (\frac{t}{T} + \frac{x}{λ})$ と書いてしまう誤り。正しくは、位置 $x$ は原点より $\frac{x}{v}$ 遅れて振動するので、 $t \to t - \frac{x}{v}$ と置きかえて $y = A sin 2 π (\frac{t}{T} - \frac{x}{λ})$ とする。
$y = 0.10 sin (4 π t - π x)$ を見て「周期 $T = 4$ s、波長 $λ = 1$ m」と読んでしまう誤り。正しくは $2 π (\frac{t}{T} - \frac{x}{λ})$ の形に直して $\frac{2 π}{T} = 4 π$ 、 $\frac{2 π}{λ} = π$ から $T = 0.50$ s、 $λ = 2.0$ m とする（速さは $v = \frac{λ}{T} = 4.0$ m/s）。
$sin$ の中身を度数法の角だと思って $sin (2 π \times 0.25) = sin (1.5 7^{\circ})$ のように計算してしまう誤り。正しくは中身は弧度法の角で、 $2 π \times 0.25 = \frac{π}{2}$ rad なので $sin \frac{π}{2} = 1$ 。
式中の $\frac{x}{λ}$ を $\frac{x}{v}$ と混同して $y = A sin 2 π (\frac{t}{T} - \frac{x}{v})$ としてしまう誤り。正しくは $y = A sin \frac{2 π}{T} (t - \frac{x}{v})$ で、 $2 π$ だけでくくるなら $\frac{x}{v T} = \frac{x}{λ}$ になる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

波の重ね合わせ・反射と定常波（高校物理波動）
弦の波動方程式（大学物理振動・波動）
分散関係と群速度（大学物理振動・波動）
真空中の平面電磁波（大学物理電磁波と電磁場）