弦の波動方程式

線密度 $\mu =2.0\times 10^{-2}kg/m$ の一様な弦を、張力 $T=72\mathrm{N}$ で $x$ 軸に沿ってまっすぐに張る。弦の $x$ 軸からの横方向の変位を $y(x,t)$ とすると、変位と傾きが小さいとき（張力の大きさは一定とみなし、重力は無視する）、弦の微小部分の運動方程式から

$$\mu \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$$

が成り立つ。この弦を伝わる横波の速さは何 $m/s$ か。整数で求めよ。

線密度 $\mu$ の十分に長い弦（$x<0$ の部分）と、線密度 $9\mu$ の十分に長い弦（$x>0$ の部分）を原点 $x=0$ でつなぎ、全体を一様な張力 $T$ で $x$ 軸に沿って張った（$\mu >0$, $T>0$）。弦の微小な横変位 $y(x,t)$ は、それぞれの部分で波動方程式
$$\mu (x)\frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$$
に従う（$\mu (x)$ はその位置での線密度）。つなぎ目には質量がなく、$x=0$ で変位 $y$ と傾き $\frac{\partial y}{\partial x}$ はともに連続であるとする。重力は無視する。

$x<0$ の側から、角振動数 $\omega$ の正弦波 $y=A\cos (k_{1}x-\omega t)$（$A>0$, $k_1>0$）が $x$ 軸の正の向きに入射し、つなぎ目で一部が反射し、一部が $x>0$ の側へ透過する。入射波が運ぶ平均のエネルギーの流れ（仕事率）のうち、透過波が運ぶ割合を求めよ。

線密度 $\mu$、張力 $T$ で張られた十分に長い弦を考える（$\mu >0$, $T>0$）。この弦は曲げに対するかたさをもち、その大きさを表す定数を $\kappa >0$ とする。弦の微小な横変位 $y(x,t)$ は次の方程式に従う。
$$\mu \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}-\kappa \frac{{\partial }^{4}y}{\partial x^4}$$
この弦を、正弦波 $y=A\cos (kx-\omega t)$（$A\ne 0$, 波数 $k>0$, 角振動数 $\omega >0$）が伝わる。波数が $k=\sqrt{\frac{T}{\kappa }}$ のときの群速度 $v_g=\frac{d\omega }{dk}$ を、$T$, $\mu$ を用いて表せ。

$xy$ 平面上の長方形 $0\le x\le 2a$, $0\le y\le a$（$a>0$）に、面密度 $\sigma$ の一様な膜が、単位長さあたり $S$ の一様な張力で張られている。膜の周囲（長方形の 4 辺）は固定されている。膜の面に垂直な微小変位 $u(x,y,t)$ は波動方程式
$$\sigma \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=S\left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\right)$$
に従う。

この膜の基準振動は、正の整数の組 $(m,n)$ で $u=\sin \frac{m\pi x}{2a}\sin \frac{n\pi y}{a}\cos ({\omega }_{mn}t+\delta )$ と表され、異なる組 $(m,n)$ は異なる基準振動とみなす。角振動数 ${\omega }_{mn}$ が、最も低い角振動数の $3$ 倍より小さい（$3$ 倍に等しいものは含めない）基準振動はいくつあるか。