両端固定の弦の基準振動

変数分離 $y = X (x) T (t)$ と境界条件 $y (0, t) = y (L, t) = 0$ から基準振動 $sin \frac{nπ x}{L} cos (ω_{n} t + ϕ_{n})$ と固有振動数 $ω_{n} = \frac{nπ v}{L}$ を求め、端の条件が変わったときの固有振動数も求められる

前提

弦の波動方程式（大学物理振動・波動）
境界値問題と固有値（大学数学微分方程式）

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算数中学高校大学大学院

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境界値問題と固有値（大学数学微分方程式）

説明

両端を固定した弦（ギターやピアノの弦など）は、どんな角振動数でも振動できるわけではなく、とびとびの決まった角振動数 $ω_{n} = \frac{nπ v}{L}$ （ $n = 1, 2, 3, \dots$ ）でだけ、形を保ったまま振動できます。この振動のしかたを基準振動、その角振動数を固有角振動数（固有振動数）といいます。この技能では、波動方程式の解を「位置だけの関数」と「時間だけの関数」の積 $y = X (x) G (t)$ の形で探し、端の条件から基準振動 $sin \frac{nπ x}{L} cos (ω_{n} t + ϕ_{n})$ を求めます。弦楽器の音の高さや倍音の計算、片方の端が自由に動く場合の振動数の計算に使います。

なぜそうしてよいのか

張力 $T$ 、線密度 $μ$ 、長さ $L$ の弦の変位 $y (x, t)$ は波動方程式 $\frac{\partial ^{2} y}{\partial t ^{2}} = v^{2} \frac{\partial ^{2} y}{\partial x ^{2}}$ （ $v = T / μ$ ）に従います。「弦全体が同じ形を保ったまま、大きさだけが時間とともに変わる」振動を探すため、 $y = X (x) G (t)$ とおきます（時間の関数は張力 $T$ と区別するため $G$ と書きます）。代入すると $X (x) G^{''} (t) = v^{2} X^{''} (x) G (t)$ で、 $X G \neq = 0$ のところで割ると
$\frac{G ^{''} ( t )}{v ^{2} G ( t )} = \frac{X ^{''} ( x )}{X ( x )} .$
左辺は $t$ だけ、右辺は $x$ だけの関数です。 $x$ を変えても左辺は変わらないので右辺は定数、 $t$ を変えても右辺は変わらないので左辺も同じ定数です。この定数を $- λ$ とおくと、 $X^{''} + λ X = 0$ と $G^{''} + λ v^{2} G = 0$ の 2 つの常微分方程式に分かれます。

両端が固定されているので、すべての $t$ で $y (0, t) = y (L, t) = 0$ です。 $G \equiv 0$ （いつも静止）でない限り、これは $X (0) = X (L) = 0$ を意味します。境界値問題 $X^{''} + λ X = 0, X (0) = X (L) = 0$ が $0$ でない解をもつのは $λ = (\frac{nπ}{L})^{2}$ （ $n = 1, 2, 3, \dots$ ）のときだけで、そのとき $X = sin \frac{nπ x}{L}$ （定数倍を除く）です。これを時間の方程式に入れると $G^{''} + (\frac{nπ v}{L})^{2} G = 0$ で、これは単振動の方程式なので $G = cos (ω_{n} t + ϕ_{n})$ 、 $ω_{n} = \frac{nπ v}{L}$ となります。

つまり、波動方程式と「両端で動かない」という条件の両方を満たす形は $sin \frac{nπ x}{L}$ に限られ、その形の「曲がり具合」 $(\frac{nπ}{L})^{2}$ が復元力の強さを決め、角振動数を決めます。波長は $λ_{n} = \frac{2 L}{n}$ で、弦の長さに半波長がちょうど $n$ 個入る定在波です。端の条件が変われば $X$ に課す条件が変わり、許される $λ$ も変わります。例えば $x = L$ の端が鉛直方向になめらかに動ける（ $\frac{\partial y}{\partial x} (L, t) = 0$ ）なら、 $X = sin k x$ に $X^{'} (L) = k cos k L = 0$ を課して $k = \frac{( 2 n - 1 ) π}{2 L}$ 、 $ω_{n} = \frac{( 2 n - 1 ) π v}{2 L}$ となります。

手順

弦の波の速さ $v = \frac{T}{μ}$ を求める
$y = X (x) G (t)$ とおいて波動方程式に代入し、 $\frac{G ^{''}}{v ^{2} G} = \frac{X ^{''}}{X} = - λ$ （定数）として $X^{''} + λ X = 0$ と $G^{''} + λ v^{2} G = 0$ に分ける
端の条件を $X$ の条件に直す（固定端なら $X = 0$ 、なめらかに動ける自由端なら $X^{'} = 0$ ）。両端固定では $X (0) = X (L) = 0$ から $λ = (\frac{nπ}{L})^{2}$ 、 $X = sin \frac{nπ x}{L}$ （ $n = 1, 2, 3, \dots$ ）
時間の方程式を解いて $G = cos (ω_{n} t + ϕ_{n})$ 、固有角振動数 $ω_{n} = v λ = \frac{nπ v}{L}$ を得る。基準振動は $sin \frac{nπ x}{L} cos (ω_{n} t + ϕ_{n})$
問われた $n$ を代入して値を求める。振動数で問われたら $f_{n} = \frac{ω _{n}}{2 π} = \frac{n v}{2 L}$ に直す

例題

長さ $L = 0.60 m$ 、線密度 $μ = 1.0 \times 1 0^{- 2} kg/m$ の弦が、張力 $T = 36 N$ で張られ、両端が固定されている。弦の小さな横振動は波動方程式 $μ \frac{\partial ^{2} y}{\partial t ^{2}} = T \frac{\partial ^{2} y}{\partial x ^{2}}$ に従うとする。 $n = 2$ の基準振動（2 倍振動）の角振動数は何 rad/s か。 $π$ を用いて表せ。

例題の解答

（手順 1） $v = \frac{T}{μ} = \frac{36}{1.0 \times 1 0 ^{- 2}} = 3600 = 60 m/s$ 。

（手順 2） $y = X (x) G (t)$ とおくと $X^{''} + λ X = 0$ 、 $G^{''} + λ v^{2} G = 0$ に分かれる。

（手順 3）両端固定なので $X (0) = X (L) = 0$ 。 $0$ でない解をもつのは $λ = (\frac{nπ}{L})^{2}$ 、 $X = sin \frac{nπ x}{L}$ （ $n = 1, 2, \dots$ ）のとき。

（手順 4） $G^{''} + (\frac{nπ v}{L})^{2} G = 0$ より $ω_{n} = \frac{nπ v}{L}$ 。

（手順 5） $n = 2$ を代入して
$ω_{2} = \frac{2 π \times 60}{0.60} = 200 π .$
よって $200 π rad/s$ 。

答え: $200 π$

よくある誤り

角振動数と振動数を混同し、 $ω_{n} = \frac{n v}{2 L}$ としてしまう誤り。正しくは角振動数は $ω_{n} = \frac{nπ v}{L}$ 、振動数は $f_{n} = \frac{ω _{n}}{2 π} = \frac{n v}{2 L}$ （上の例題では $ω_{2} = 200 π$ 、 $f_{2} = 100$ ）
弦の長さに 1 波長が入ると考えて $λ_{n} = \frac{L}{n}$ 、 $ω_{n} = \frac{2 nπ v}{L}$ としてしまう誤り。正しくは $sin \frac{nπ x}{L}$ は長さ $L$ に半波長が $n$ 個入る形なので $λ_{n} = \frac{2 L}{n}$ 、 $ω_{n} = \frac{2 π v}{λ _{n}} = \frac{nπ v}{L}$
$n = 0$ や $λ \leq 0$ も基準振動に含めてしまう誤り。正しくは $n = 0$ では $X = sin 0 = 0$ で弦は動かず、 $λ \leq 0$ では $X (0) = X (L) = 0$ を満たす解は $X \equiv 0$ だけなので、基準振動は $n = 1, 2, 3, \dots$ に限られる（ $n$ が負のものは符号が変わるだけで同じ振動）
片方の端が自由（ $\frac{\partial y}{\partial x} (L, t) = 0$ ）なのに両端固定の式 $ω_{n} = \frac{nπ v}{L}$ を使ってしまう誤り。正しくは $X = sin k x$ に $X^{'} (L) = k cos k L = 0$ を課して $k L = \frac{( 2 n - 1 ) π}{2}$ 、 $ω_{n} = \frac{( 2 n - 1 ) π v}{2 L}$ （ $n = 1, 2, \dots$ ）で、最低の角振動数は両端固定の半分になる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
長さ $L = 0.80 m$ 、線密度 $μ = 1.0 \times 1 0^{- 2} kg/m$ の一様な弦を、張力 $T = 64 N$ で張り、両端 $x = 0$ , $x = L$ を固定する。弦の横方向の変位 $y (x, t)$ は波動方程式
$\frac{\partial ^{2} y}{\partial t ^{2}} = v^{2} \frac{\partial ^{2} y}{\partial x ^{2}}, v = \frac{T}{μ}$
に従い、境界条件 $y (0, t) = y (L, t) = 0$ を満たすとする（重力は無視する）。この弦の基準振動の角振動数を小さい順に $ω_{1}, ω_{2}, ω_{3}, \dots$ とするとき、 $ω_{3}$ は何 $rad/s$ か。 $π$ を用いた正確な値で求めよ。
$x = 0$ $x = L$ $L = 0.80 m$
両端を固定した弦（つり合いの状態）

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

初期条件の基準振動への展開とエネルギー（大学物理振動・波動）
長方形の膜の振動（大学物理振動・波動）