初期条件の基準振動への展開とエネルギー

弦の初期形状・初速度をフーリエ正弦級数で展開して各基準振動の振幅を求め、全エネルギーが各基準振動のエネルギー（ $\propto n^{2} b_{n}^{2}$ ）の和になることを使って、基本振動などが担うエネルギーの割合を求められる

前提

両端固定の弦の基準振動（大学物理振動・波動）
正弦級数・余弦級数（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
パーセバルの等式と級数の和（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）

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算数中学高校大学大学院

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正弦級数・余弦級数（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
パーセバルの等式と級数の和（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）

説明

両端を固定した弦を指ではじいたり（初期形状）、たたいたり（初速度）すると、弦の運動は基準振動 $sin \frac{nπ x}{L} cos (ω_{n} t + ϕ_{n})$ の重ね合わせになります。この技能では、初期形状や初速度を正弦級数に展開して、各基準振動の振幅を求めます。さらに、弦の全エネルギーが各基準振動のエネルギーの単純な和になり、 $n$ 番目の基準振動のエネルギーが $n^{2} b_{n}^{2}$ に比例することを使って、基本振動（ $n = 1$ ）などが全体の何割のエネルギーを担っているかを求めます。弦楽器の音色（倍音の強さ）が弾き方でどう変わるかを考えるときに役立ちます。

なぜそうしてよいのか

張力 $T$ 、線密度 $μ$ 、長さ $L$ 、波の速さ $v = T / μ$ の両端固定の弦の運動は、一般に
$y (x, t) = n = 1 \sum \infty sin \frac{nπ x}{L} (b_{n} cos ω_{n} t + c_{n} sin ω_{n} t), ω_{n} = \frac{nπ v}{L}$
と書けます。 $t = 0$ とおくと $y (x, 0) = \sum b_{n} sin \frac{nπ x}{L}$ 、 $t$ で微分してから $t = 0$ とおくと $\frac{\partial y}{\partial t} (x, 0) = \sum ω_{n} c_{n} sin \frac{nπ x}{L}$ です。どちらも区間 $[0, L]$ の正弦級数なので、初期形状 $f (x)$ 、初速度 $g (x)$ の正弦級数の係数を求めれば
$b_{n} = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f (x) sin \frac{nπ x}{L} d x, ω_{n} c_{n} = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} g (x) sin \frac{nπ x}{L} d x$
として振幅が決まります。静かに放したとき（ $g = 0$ ）は $c_{n} = 0$ です。

弦のエネルギーは、運動エネルギー $\int_{0}^{L} \frac{1}{2} μ (\frac{\partial y}{\partial t})^{2} d x$ と、伸びによる位置エネルギーの和です。微小部分 $d x$ の長さは $1 + (\partial y / \partial x)^{2} d x \approx (1 + \frac{1}{2} (\partial y / \partial x)^{2}) d x$ に伸び（変位が小さく $∣ \partial y / \partial x ∣ ≪ 1$ とする）、張力 $T$ に逆らって弦を伸ばす仕事が蓄えられるので、位置エネルギーは $\int_{0}^{L} \frac{1}{2} T (\frac{\partial y}{\partial x})^{2} d x$ です。ここに級数を代入すると、 $m \neq = n$ のとき $\int_{0}^{L} sin \frac{mπ x}{L} sin \frac{nπ x}{L} d x = 0$ 、 $\int_{0}^{L} cos \frac{mπ x}{L} cos \frac{nπ x}{L} d x = 0$ （積和の公式で確かめられる）なので、異なる $n$ どうしの掛け算の項はすべて消え、全エネルギーは各基準振動のエネルギーの和 $E = \sum E_{n}$ になります。これはパーセバルの等式と同じ仕組みです。

1 つの基準振動 $b_{n} sin \frac{nπ x}{L} cos ω_{n} t$ のエネルギーは一定なので、速さが最大の瞬間（変位 $0$ 、位置エネルギー $0$ ）の運動エネルギーで求められ、 $\int_{0}^{L} sin^{2} \frac{nπ x}{L} d x = \frac{L}{2}$ から
$E_{n} = \frac{1}{2} μ ω_{n}^{2} b_{n}^{2} \cdot \frac{L}{2} = \frac{1}{4} μL ω_{n}^{2} b_{n}^{2} = \frac{π ^{2} T}{4 L} n^{2} b_{n}^{2}$
です（ $μ ω_{n}^{2} = μ \frac{n ^{2} π ^{2}}{L ^{2}} \cdot \frac{T}{μ} = \frac{n ^{2} π ^{2} T}{L ^{2}}$ を使った。 $c_{n} \neq = 0$ なら $b_{n}^{2}$ を $b_{n}^{2} + c_{n}^{2}$ に置き換える）。 $ω_{n}$ が $n$ に比例するので、同じ振幅なら高い基準振動ほどエネルギーが大きく、エネルギーの割合は $\frac{n ^{2} b _{n}^{2}}{\sum _{m} m ^{2} b _{m}^{2}}$ で決まります。

手順

初期形状 $f (x)$ （と初速度 $g (x)$ ）を $0 \leq x \leq L$ の式で書く
正弦級数の係数 $b_{n} = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f (x) sin \frac{nπ x}{L} d x$ を計算する。必要な $n$ だけ（基本振動なら $n = 1$ ）計算すればよい。初速度があるときは $c_{n} = \frac{2}{L ω _{n}} \int_{0}^{L} g (x) sin \frac{nπ x}{L} d x$ も求める
各基準振動のエネルギー $E_{n} = \frac{1}{4} μL ω_{n}^{2} (b_{n}^{2} + c_{n}^{2}) = \frac{π ^{2} T}{4 L} n^{2} (b_{n}^{2} + c_{n}^{2})$ を求める
全エネルギーを $E = \int_{0}^{L} [\frac{1}{2} μ g^{2} + \frac{1}{2} T (f^{'})^{2}] d x$ （ $t = 0$ で計算）か $\sum E_{n}$ で求め、割合 $\frac{E _{n}}{E}$ を計算する

例題

張力 $T$ 、線密度 $μ$ 、長さ $L$ の弦の両端 $x = 0, x = L$ が固定されている。弦の中点を高さ $h$ （ $h ≪ L$ ）だけ横に引き、 $y (x, 0) = \frac{2 h x}{L} (0 \leq x \leq \frac{L}{2})$ 、 $y (x, 0) = \frac{2 h ( L - x )}{L} (\frac{L}{2} \leq x \leq L)$ の三角形の形にして静かに放した。弦の全エネルギーのうち、基本振動（ $n = 1$ の基準振動）が担うエネルギーの割合を求めよ。

例題の解答

（手順 1） $f (x)$ は問題文の三角形の形、初速度は $g (x) = 0$ なので $c_{n} = 0$ 。

（手順 2） $κ = \frac{nπ}{L}$ とおき、積分を 2 つに分ける。
$b_{n} = \frac{2}{L} \cdot \frac{2 h}{L} (I_{1} + I_{2}), I_{1} = \int_{0}^{L /2} x sin κ x d x, I_{2} = \int_{L /2}^{L} (L - x) sin κ x d x$
$I_{1}$ は $u = x$ , $d v = sin κ x d x$ （ $v = - \frac{cos κ x}{κ}$ ）として部分積分すると
$I_{1} = [- \frac{x cos κ x}{κ}]_{0}^{L /2} + \frac{1}{κ} \int_{0}^{L /2} cos κ x d x = - \frac{L}{2 κ} cos \frac{nπ}{2} + [\frac{sin κ x}{κ ^{2}}]_{0}^{L /2} = - \frac{L}{2 κ} cos \frac{nπ}{2} + \frac{1}{κ ^{2}} sin \frac{nπ}{2}$
$I_{2}$ は $u = L - x$ （ $d u = - d x$ ）として部分積分すると、 $x = L$ で $u = 0$ なので
$I_{2} = [- \frac{( L - x ) cos κ x}{κ}]_{L /2}^{L} - \frac{1}{κ} \int_{L /2}^{L} cos κ x d x = \frac{L}{2 κ} cos \frac{nπ}{2} - \frac{sin nπ - sin \frac{nπ}{2}}{κ ^{2}} = \frac{L}{2 κ} cos \frac{nπ}{2} + \frac{1}{κ ^{2}} sin \frac{nπ}{2}$
（ $sin nπ = 0$ を使った）。足すと $cos \frac{nπ}{2}$ を含む境界項が打ち消し合い、
$I_{1} + I_{2} = \frac{2}{κ ^{2}} sin \frac{nπ}{2} = \frac{2 L ^{2}}{n ^{2} π ^{2}} sin \frac{nπ}{2}, b_{n} = \frac{4 h}{L ^{2}} \cdot \frac{2 L ^{2}}{n ^{2} π ^{2}} sin \frac{nπ}{2} = \frac{8 h}{n ^{2} π ^{2}} sin \frac{nπ}{2} .$
今回必要なのは $n = 1$ だけで、 $sin \frac{π}{2} = 1$ より $b_{1} = \frac{8 h}{π ^{2}}$ 。（ $n = 1$ だけなら最初から $κ = \frac{π}{L}$ とおき、 $cos \frac{π}{2} = 0$ で境界項が消えて $I_{1} = I_{2} = \frac{L ^{2}}{π ^{2}}$ となることを使ってもよい。）

（手順 3） $E_{1} = \frac{π ^{2} T}{4 L} \cdot 1^{2} \cdot \frac{64 h ^{2}}{π ^{4}} = \frac{16 T h ^{2}}{π ^{2} L}$ 。

（手順 4） $t = 0$ では静止しているので全エネルギーは位置エネルギーだけで、 $f^{'} (x) = \pm \frac{2 h}{L}$ より
$E = \int_{0}^{L} \frac{1}{2} T (\frac{2 h}{L})^{2} d x = \frac{2 T h ^{2}}{L} .$
よって
$\frac{E _{1}}{E} = \frac{16 T h ^{2} / ( π ^{2} L )}{2 T h ^{2} / L} = \frac{8}{π ^{2}} (\approx 0.81) .$
（検算: 偶数の $n$ では $b_{n} = 0$ 、奇数の $n$ では $b_{n}^{2} = \frac{64 h ^{2}}{n ^{4} π ^{4}}$ なので $\sum E_{n} = \frac{π ^{2} T}{4 L} \cdot \frac{64 h ^{2}}{π ^{4}} \sum_{n : 奇数} \frac{1}{n ^{2}} = \frac{16 T h ^{2}}{π ^{2} L} \cdot \frac{π ^{2}}{8} = \frac{2 T h ^{2}}{L}$ で一致する。）

答え: $\frac{8}{π ^{2}}$

よくある誤り

エネルギーの割合を振幅の 2 乗の比 $\frac{b _{1}^{2}}{\sum b _{n}^{2}}$ で求めてしまう誤り。正しくは $E_{n} \propto ω_{n}^{2} b_{n}^{2} \propto n^{2} b_{n}^{2}$ なので $\frac{1 ^{2} b _{1}^{2}}{\sum n ^{2} b _{n}^{2}}$ 。上の例題で $b_{n}^{2}$ の比を使うと $\frac{96}{π ^{4}} \approx 0.99$ となり、正しい $\frac{8}{π ^{2}} \approx 0.81$ と合わない
正弦級数の係数の前の因子を $\frac{1}{L}$ としてしまう誤り。正しくは $\int_{0}^{L} sin^{2} \frac{nπ x}{L} d x = \frac{L}{2}$ なので $b_{n} = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f (x) sin \frac{nπ x}{L} d x$
初速度 $g (x)$ を与えたとき、その正弦級数の係数をそのまま $c_{n}$ としてしまう誤り。正しくは $\frac{\partial y}{\partial t} (x, 0) = \sum ω_{n} c_{n} sin \frac{nπ x}{L}$ なので $c_{n} = \frac{2}{L ω _{n}} \int_{0}^{L} g (x) sin \frac{nπ x}{L} d x$ と $ω_{n}$ で割る
静かに放した直後は速さが $0$ なので弦のエネルギーも $0$ としてしまう誤り。正しくは弦が曲がっていることによる位置エネルギー $\int_{0}^{L} \frac{1}{2} T (\frac{\partial y}{\partial x})^{2} d x$ があり、上の例題では $E = \frac{2 T h ^{2}}{L}$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
長さ $L$ 、線密度 $μ$ の一様な弦を張力 $T$ で張り、両端 $x = 0$ , $x = L$ を固定する。弦の横方向の変位 $y (x, t)$ は波動方程式 $μ \frac{\partial ^{2} y}{\partial t ^{2}} = T \frac{\partial ^{2} y}{\partial x ^{2}}$ に従う。時刻 $t = 0$ で弦を
$y (x, 0) = 4 a sin^{3} \frac{π x}{L} (0 \leq x \leq L)$
の形にして、静かに（初速度 $0$ で）放す。ここで $a$ は正の定数で、変位は十分小さいとする。エネルギーの損失はないものとする。弦の全エネルギー（運動エネルギーと張力による位置エネルギーの和）のうち、基本振動（ $n = 1$ の基準振動）が担うエネルギーの割合を求めよ。
$x = 0$ $x = L$
$t = 0$ での弦の形（縦方向は拡大）

初期条件の基準振動への展開とエネルギー

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題