無限等比級数と無限級数

次の無限等比級数は収束する。その和を求めよ。$$6-2+\frac{2}{3}-\frac{2}{9}+\cdots$$

次の無限等比級数の収束、発散を調べ、収束する場合はその和を求めよ。$$9-6+4-\frac{8}{3}+\cdots$$

次の無限等比級数の収束、発散を調べ、収束する場合はその和を求めよ。$$6-2+\frac{2}{3}-\frac{2}{9}+\cdots$$

無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\cdot 4^n}$$
の和を求めよ。

無限級数 $$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\cdot 3^n}$$ の和を求めよ。

無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\cdot 4^n}$$
の和を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する熱方程式の初期値・境界値問題
$$u_t=u_{xx}(0<x<1,t>0),$$
$$u(0,t)=u(1,t)=0(t>0),u(x,0)=x(1-x)(0\le x\le 1)$$
を考える。変数分離とフーリエ正弦級数によってこの問題の解 $u$ を求め、極限
$$\underset{t\to \infty }{\lim }{e}^{{\pi }^{2}t}u\left(\frac{1}{2},t\right)$$
の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する熱方程式の初期値・境界値問題
$$u_t=u_{xx}(0<x<1,t>0),$$
$$u(0,t)=u(1,t)=0(t>0),u(x,0)=1(0<x<1)$$
を考える。変数分離とフーリエ正弦級数によって得られる解 $u$ について、極限
$$\underset{t\to \infty }{\lim }{e}^{{\pi }^{2}t}u\left(\frac{1}{2},t\right)$$
の値を求めよ。

当たりの出る確率が $\frac{1}{4}$ のくじがある。このくじを 1 回ずつ引き、引いたくじは毎回もとに戻す。各回の結果は互いに独立であるとする。初めて当たりが出るまでに引いた回数（当たりが出た回も含める）を $X$ とする。$X$ の確率分布は
$$P(X=k)=\frac{1}{4}{\left(\frac{3}{4}\right)}^{k-1}(k=1,2,3,\dots )$$
である。$X$ の期待値 $E(X)$ を求めよ。

1 個のさいころを、$1$ または $2$ の目が出るまで繰り返し投げる。$1$ または $2$ の目がはじめて出るまでに投げた回数（その回を含む）を $X$ とする。$X$ が偶数となる確率 $P(X\text{ が偶数})$ を求めよ。

赤玉 $1$ 個と白玉 $3$ 個が入った袋がある。袋から玉を $1$ 個取り出し、色を確かめてから袋に戻す。この操作を、赤玉が初めて出るまで繰り返す。赤玉が初めて出るまでに行った操作の回数（赤玉が出た回も含める）を $X$ とするとき、$X$ の期待値 $E(X)$ を求めよ。

区間 $(0,1)$ 上のルベーグ測度を $\lambda$ とする。実数 $t$ に対し、$t$ 以下の最大の整数を $\lfloor t\rfloor$ で表す。関数 $f:(0,1)\to \mathbb{R}$ を
$$f(x)=\lfloor {\log }_3\frac{1}{x}\rfloor$$
で定めるとき、ルベーグ積分
$$I={\int }_{(0,1)}fd\lambda$$
の値を求めよ。

$n\ge 2$ を整数とする。確率変数 $X_n$ は、パラメータ $\frac{1}{n}$ の幾何分布に従うとする。すなわち
$$P(X_n=k)=\frac{1}{n}{\left(1-\frac{1}{n}\right)}^{k-1}(k=1,2,3,\dots )$$
である。$Y_n=\frac{X_n}{n}$ とおく。$Y_n$ の特性関数 ${\phi }_{Y_n}(t)=E\left[e^{it{Y}_n}\right]$ の $n\to \infty$ における極限を求めて $Y_n$ の分布の極限を決定し、それを用いて極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P(X_n>2n)$$
を求めよ。

$n\ge 2$ を整数とします。確率変数 $X_n$ は、パラメータ $\frac{1}{n}$ の幾何分布に従うとします。すなわち
$$P(X_n=k)=\frac{1}{n}{\left(1-\frac{1}{n}\right)}^{k-1}(k=1,2,3,\dots )$$
です。$Y_n=\frac{X_n}{n}$ とおきます。特性関数を用いて $Y_n$ の分布の極限を調べ、極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P(Y_n>2)$$
を求めてください。ただし $i$ は虚数単位です。

実数列 $x=(x_n{)}_{n\ge 1}$ で ${\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^3<\infty$ をみたすもの全体のなす実バナッハ空間 ${\ell }^3$ に、ノルム $$\Vert x{\Vert }_3={\left(\sum _{n=1}^{\infty }|x_n{|}^3\right)}^{1/3}$$ を入れる。線形汎関数 $\phi :{\ell }^3\to \mathbb{R}$ を $$\phi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x_n}{4^n}$$ で定める。$\phi$ の作用素ノルム $$\Vert \phi \Vert =\underset{x\ne 0}{\sup }\frac{|\phi (x)|}{\Vert x{\Vert }_3}$$ を求めよ。

無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n(n+2)}{3^n}$$
の和を求めよ。

複素ヒルベルト空間 ${\ell }^2=\left\{x=(x_n{)}_{n\ge 1}:x_n\in \mathbb{C},{\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^2<\infty \right\}$ を内積 $⟨x,y⟩={\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n\overline{y_n}$ とそれから定まるノルム $\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$ で考える。閉部分空間
$$M=\left\{x\in {\ell }^2:\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x_n}{2^n}=0\right\}$$
と、$u_n=\frac{1}{n}(n=1,2,3,\dots )$ で定まるベクトル $u=(u_n{)}_{n\ge 1}\in {\ell }^2$ をとる。$u$ と $M$ との距離 $d=\underset{x\in M}{\inf }\Vert u-x\Vert$ を求めよ。

年利率 $5\%$（1 年ごとの複利）が将来にわたって一定である市場を考える。ある基金は、いまから $2$ 年後、$4$ 年後、$6$ 年後、$\dots$ と、$2$ 年ごとに $10$ 万円ずつを永久に支払い続ける。この支払いの、現時点（時刻 $0$）における現在価値の総和を $X$ 万円とする。$X$ を既約分数で求めよ。

行列
$$A=\frac{1}{6}\left(\begin{array}{ccc}3& 3& 0\\ 2& 2& 2\\ 0& 3& 3\end{array}\right)$$
について、正の整数 $n$ に対し $A^n$ の $(1,3)$ 成分を $a_n$ とする。数列 $\{a_n\}$ は収束する。その極限を $\alpha =\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$ とするとき、級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n-\alpha \right)$$
の和を求めよ。

$\mathbb{R}$ のボレル集合族上の測度 $\mu$ を
$$\mu (A)=\lambda (A\cap (0,1))+\sum _{n=1}^{\infty }{2}^{-n}{\delta }_{1/n}(A)$$
で定める。ここで $\lambda$ はルベーグ測度、${\delta }_a$ は点 $a$ におけるディラック測度（$a\in A$ なら ${\delta }_a(A)=1$、そうでなければ $0$）である。集合
$$E=\left\{x\in (0,1)|\lfloor \frac{1}{x}\rfloor \text{ は偶数}\right\}$$
に対し、$\mu (E)$ の値を求めよ。ただし $\lfloor t\rfloor$ は $t$ 以下の最大の整数を表す。

1 辺の長さが $1$ の正方形を $F_1$ とする。正方形 $F_n$ $(n=1,2,3,\dots )$ の頂点を順に $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D}$ とし、辺 $\mathrm{AB},\mathrm{BC},\mathrm{CD},\mathrm{DA}$ 上にそれぞれ点 $\mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R},\mathrm{S}$ を
$$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=\mathrm{BQ}:\mathrm{QC}=\mathrm{CR}:\mathrm{RD}=\mathrm{DS}:\mathrm{SA}=1:2$$
となるようにとる。このとき四角形 $\mathrm{PQRS}$ は正方形になる。この正方形を $F_{n+1}$ とする。

正方形 $F_n$ の周の長さを $L_n$ とするとき、無限級数 $\sum _{n=1}^{\infty }{L}_n$ の和を求めよ。

真空（屈折率 $1$）中に、屈折率 $n=\sqrt{3}$ の一様なガラスでできた、両面が平行な平面の厚い板が置かれている。ガラスは非磁性（透磁率は真空の透磁率 ${\mu }_0$ に等しい）で、光を吸収しない。この板の表面に、偏光していない（自然光の）単色の平面波を入射角 $\frac{\pi }{3}$ で入射させる。

板は十分厚く、板の中で多重反射する光どうしの干渉は無視でき、板を透過する光の強度は、多重反射を繰り返して裏面から出てくる光の強度をすべて足し合わせたものとしてよい。各境界面での反射・透過はフレネルの式に従うものとする。

板を透過して裏面側に出てくる光の強度の合計は、入射光の強度の何倍か。既約分数で求めよ。

区間 $-\pi \le x\le \pi$ で定義された関数
$$f(x)=x(\pi -|x|)$$
を考える。$f(x)$ のフーリエ級数
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)$$
の係数を求め、パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\{f(x){\}}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^6}$$
の値を求めよ。

年利率 $i=0.1$（1 年複利）が永久に一定である市場を考える。次のように支払いが続く永久年金がある。

• $k=1,2,\dots ,10$ について、第 $k$ 年末に $k$ 万円を支払う（第 $1$ 年末に $1$ 万円、第 $2$ 年末に $2$ 万円、$\dots$、第 $10$ 年末に $10$ 万円）。
• 第 $11$ 年末以降は、毎年末に $10$ 万円ずつ永久に支払う。

この永久年金の現在（時刻 $0$）における現価を万円単位で求めよ。答えは累乗を含む形のままでよい。

2 つの因果的な離散時間の線形時不変系 S${}_1$, S${}_2$ を、この順に縦続接続する（S${}_1$ の出力を S${}_2$ の入力とする）。$n$ は整数とする。

• S${}_1$ のインパルス応答は $h_1[n]={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n}u[n]$
• S${}_2$ の入力 $w[n]$ と出力 $y[n]$ の関係は $y[n]=w[n]-w[n-2]$

ここで $u[n]$ は単位ステップ系列（$n\ge 0$ で $1$、$n<0$ で $0$）である。全体の系に入力 $x[n]=u[n]$ を加えたときの出力 $y[n]$ について、エネルギー
$$\sum _{n=0}^{\infty }y[n{]}^2$$
を求めよ。ただし、初期状態は $0$ とする。

客が到着率 $\lambda >0$ のポアソン過程に従って到着する、待合室の容量に制限のない次の 2 つの待ち行列システムを考える。$\mu >0$ とし、$\lambda <2\mu$ とする。

• システム A: 窓口が 1 つで、サービス時間は平均 $\frac{1}{2\mu }$ の指数分布に従う（M/M/1）。
• システム B: 窓口が 2 つで、各窓口のサービス時間は平均 $\frac{1}{\mu }$ の指数分布に従う（M/M/2）。客は空いている窓口があればすぐにサービスを受け、なければ 1 列に並んで先着順に待つ。

どちらのシステムでも、サービス時間は互いに独立で到着とも独立とする。系内人数（待っている客とサービス中の客の合計）の定常分布を $\{p_n{\}}_{n\ge 0}$ とすると、系内人数が $n$ 人のときのサービス終了率を ${\mu }_n$ として、定常分布はつり合いの式
$$\lambda p_n={\mu }_{n+1}{p}_{n+1}(n=0,1,2,\dots ),\sum _{n=0}^{\infty }{p}_n=1$$
のただ 1 つの解であることを用いてよい（${\mu }_n$ は各システムの設定から定まる）。

定常状態における平均系内人数を、システム A について $L_A$、システム B について $L_B$ とするとき、$L_A<L_B$ であることを証明せよ。

$t\geqq 0$ で定義された関数 $f(t)$ を、$0$ 以上の整数 $m$ を用いて
$$f(t)=\{\begin{array}{ll}1& (2m\leqq t<2m+1)\\ 0& (2m+1\leqq t<2m+2)\end{array}$$
で定める（周期 $2$ の矩形波）。関数 $y(t)$ は $t\geqq 0$ で連続微分可能で、$y^{\prime \prime }(t)$ は区分的に連続であり、$f(t)$ の不連続点を除くすべての $t>0$ で微分方程式
$$y^{\prime \prime }(t)+3y^{\prime }(t)+2y(t)=f(t)$$
を満たし、初期条件 $y(0)=0,y^{\prime }(0)=0$ を満たすとする。関数 $g(t)$ のラプラス変換を $\mathcal{L}[g](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}g(t)dt$ で定める。ラプラス変換を用いて、極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }y(2n)(n\text{ は正の整数})$$
の値を求めよ。

無限級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }{\left(\frac{2}{3}\right)}^n\sin \frac{n\pi }{3}$$
は収束する。その和を求めよ。

次の無限級数の和を求めよ。
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n}{2^n}\cos \frac{2n\pi }{3}$$
ただし、必要ならば $0<x<1$ のとき $\underset{n\to \infty }{\lim }n{x}^n=0$ であることを用いてよい。

1 辺の長さが $6$ の正三角形 $\mathrm{ABC}$ がある。三角形 $\mathrm{ABC}$ の内接円を $C_0$ とする。

頂点 $\mathrm{A}$ について、次のように円 $D_1,D_2,D_3,\dots$ を順に定める。
- $D_1$ は、2 辺 $\mathrm{AB},\mathrm{AC}$ に接し、$C_0$ に外接する円のうち、$C_0$ と $\mathrm{A}$ の間にあるものとする。
- $k=1,2,3,\dots$ に対し、$D_{k+1}$ は、2 辺 $\mathrm{AB},\mathrm{AC}$ に接し、$D_k$ に外接する円のうち、$D_k$ と $\mathrm{A}$ の間にあるものとする。

頂点 $\mathrm{B},\mathrm{C}$ についても同様に円の列を定める。内接円 $C_0$ と、3 つの頂点それぞれについて定めた無限個の円すべての面積の総和を求めよ。

数列 $\{a_n\}$ を
$$a_1=\frac{5}{2},a_{n+1}=a_n^2-3a_n+4(n=1,2,3,\dots )$$
で定める。無限級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{a_n-1}$$
の和を求めよ。

数列 $\{a_n{\}}_{n\ge 0}$ を
$$a_0=1,a_n=\sum _{k=1}^n{k}^2{a}_{n-k}(n\ge 1)$$
で定める。無限級数
$$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{a_n}{5^n}$$
は収束することが示せる。その和を求めよ。

空気（屈折率 $1$）中に、2 枚の同じ平面の半透鏡を、反射面が互いに平行になるように間隔 $d$ で向かい合わせて置いた（ファブリー・ペロー干渉計）。各半透鏡の強度反射率は $R=0.80$ で、光の吸収はない（強度透過率は $1-R$）。真空中の波長 $\lambda$ の単色平面波を鏡面に垂直に入射させ、2 枚の鏡の間で何度も反射しながら透過してくるすべての光の重ね合わせとして透過光の強度 $I_t$ を考える。間隔 $d$ を波長程度の範囲でゆっくり変えたとき、$I_t$ の最小値と最大値の比 $\frac{I_{t,\min }}{I_{t,\max }}$ を求めよ。ただし、各鏡での反射・透過で振幅に生じる位相の変化は $d$ によらない一定値であり、光は鏡の間を往復するたびに位相 $\delta =\frac{4\pi d}{\lambda }$（に一定値を加えたもの）だけ遅れるものとする。

正の整数 $n$ に対し、${\sigma }_2(n)=\sum _{d\mid n}{d}^2$（$d$ は $n$ の正の約数全体を動く）とする。$\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$、$\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}$、$\zeta (6)=\frac{{\pi }^6}{945}$、$\zeta (8)=\frac{{\pi }^8}{9450}$ を用いてよい。級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\sigma }_2(n{)}^2}{n^6}$$
の値を求めよ。

$C\subset [0,1]$ を、閉区間 $[0,1]$ から中央の開区間 $\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$ を取り除き、残った各閉区間からさらにその中央の長さ $\frac{1}{3}$ 倍の開区間を取り除く、という操作を無限に繰り返して得られるカントール集合（三進カントール集合）とする。集合 $$E=\left\{x+\frac{y}{9}|x\in C,y\in C\right\}\subset \mathbb{R}$$ のルベーグ測度 $\lambda (E)$ を求めよ。

伝達関数が
$$H(z)=\frac{1+z^{-1}}{1-z^{-1}+\frac{1}{2}{z}^{-2}}$$
で与えられる因果的な離散時間 IIR フィルタがある。このフィルタの周波数特性を $H(e^{j\omega })$（$\omega$ は正規化角周波数、$-\pi \le \omega \le \pi$）とするとき、
$$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{\left|H(e^{j\omega })\right|}^{2}d\omega$$
の値を求めよ。

（この値は、平均 $0$・分散 ${\sigma }^2$ の白色雑音を入力したときの定常状態での出力の分散を ${\sigma }^2$ で割ったもの、すなわちフィルタの雑音電力利得に等しい。）

正の整数 $n$ に対して $H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$ とおく。級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{H_n}{n(n+1)}$$
は収束し、その和が $\frac{{\pi }^2}{6}$ であることを証明せよ。ただし、$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$ であること、および $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\log x}{x}=0$ であることは用いてよい。

正の整数 $n$ に対して
$$f(n)=\#\{(a,b)\in {\mathbb{Z}}_{>0}^2:\mathrm{lcm}(a,b)=n\}$$
とおく（$\mathrm{lcm}(a,b)$ は $a,b$ の最小公倍数）。また、複素数 $s$ に対して $\sigma =\mathrm{Re}s$ と書き、$\sigma >1$ のとき $\zeta (s)={\sum }_{n=1}^{\infty }{n}^{-s}$ とする。

$\mathrm{Re}s>1$ を満たす任意の複素数 $s$ に対して、ディリクレ級数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }f(n)n^{-s}$ は絶対収束し、$\zeta (2s)\ne 0$ であって
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{f(n)}{n^s}=\frac{\zeta (s{)}^3}{\zeta (2s)}$$
が成り立つことを証明せよ。

ただし、素因数分解の一意性、$\sigma >1$ で ${\sum }_{n=1}^{\infty }{n}^{-\sigma }$ が収束すること、絶対収束する級数の項の並べ替えと、絶対収束する有限個の級数の積の展開（コーシー積）は用いてよい。$\zeta$ のオイラー積表示は用いる場合には証明すること。

関数 $\chi :\mathbb{Z}\to \{0,1,-1\}$ を
$$\chi (n)=\{\begin{array}{ll}1& (n\equiv \pm 1(\mathrm{mod}8)),\\ -1& (n\equiv \pm 3(\mathrm{mod}8)),\\ 0& (n\text{ が偶数})\end{array}$$
で定める（これは法 $8$ の実ディリクレ指標である）。部分和を $S_N={\sum }_{n=1}^N\frac{\chi (n)}{n}$（$N$ は正の整数）とおく。

$N\to \infty$ のとき $S_N$ は収束し、
$$L(1,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\chi (n)}{n}=\underset{N\to \infty }{\lim }{S}_N=\frac{\log (1+\sqrt{2})}{\sqrt{2}}$$
が成り立つことを証明せよ。ただし、微分積分学の基本的な事実（定積分の性質、置換積分、広義積分）は用いてよい。

無限級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{4^n{\cos }^2\frac{\pi }{2^{n+1}}}=\frac{1}{4{\cos }^2\frac{\pi }{4}}+\frac{1}{16{\cos }^2\frac{\pi }{8}}+\frac{1}{64{\cos }^2\frac{\pi }{16}}+\cdots$$
は収束する。その和を求めよ。

すべての実数 $x$ で定義された関数 $f(x)$ が、$x=0$ で連続で $f(0)=1$ であり、すべての実数 $x$ に対して
$$f(2x)=f(x)\cos x+\frac{3}{2}x\sin 2x$$
を満たしている。$f\left(\frac{\pi }{2}\right)$ の値を求めよ。