年金現価とローン返済

期末払い年金の現価 $a_{n ∣} = \frac{1 - v ^{n}}{i}$ と永久年金の現価 $\frac{1}{i}$ を求め、借入額と返済の現価が等しいという式から毎回の返済額を求められる

前提

複利と現在価値（大学数学数理ファイナンス・保険数学）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）

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算数中学高校大学大学院

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無限等比級数と無限級数（数学III 極限）

説明

一定の期間、毎期末に同じ金額を受け取る（または支払う）流れを「年金」といい、その流れ全体を現在の金額に直したものを「年金現価」といいます。この技能では、期末払い年金の現価 $a_{n ∣} = \frac{1 - v ^{n}}{i}$ と、いつまでも続く永久年金の現価 $\frac{1}{i}$ を求めます。さらに「借入額＝返済額全体の現価」という式を立てて、住宅ローンなどの毎回の返済額を計算します。

なぜそうしてよいのか

年利率 $i > 0$ の複利で、 $v = (1 + i)^{- 1}$ とします。 $k$ 年後の 1 円の現価は $v^{k}$ でした。1 年後から $n$ 年後まで毎年末に 1 円ずつ受け取るとき、その現価はそれぞれの現価の和です。 $a_{n ∣} = v + v^{2} + \dots + v^{n} = \frac{v ( 1 - v ^{n} )}{1 - v}$ これは初項 $v$ 、公比 $v$ の等比数列の和です。ここで $1 - v = 1 - \frac{1}{1 + i} = \frac{i}{1 + i} = i v$ なので、 $\frac{v}{1 - v} = \frac{1}{i}$ となり、 $a_{n ∣} = \frac{1 - v ^{n}}{i}$ が得られます。

支払いが永久に続く場合は、 $n \to \infty$ とした部分和の極限を考えます。 $i > 0$ なら $0 < v < 1$ なので $v^{n} \to 0$ です。したがって永久年金の現価は $lim_{n \to \infty} \frac{1 - v ^{n}}{i} = \frac{1}{i}$ です。直観的には、元金 $\frac{1}{i}$ を預けると毎年の利息がちょうど $\frac{1}{i} \cdot i = 1$ になり、元金を減らさずに 1 円ずつ永久に受け取れる、ということです。

ローンでは、貸し手にとって「今 $L$ 円を渡すこと」と「将来の返済をすべて受け取ること」が同じ価値になるように返済額を決めます。現価はすべての金額を時点 0 にそろえたものなので、毎年末に $R$ 円を $n$ 回返すなら $L = R a_{n ∣}$ という式が成り立ちます。

手順

年利率 $i$ （小数で表す。例: 5% なら $i = 0.05$ ）、回数 $n$ 、借入額 $L$ を確認し、 $v = \frac{1}{1 + i}$ とおく。
年金現価 $a_{n ∣} = \frac{1 - v ^{n}}{i}$ を計算する。永久に続く場合は $\frac{1}{i}$ を使う（ $i > 0$ のとき）。
借入額と返済額全体の現価が等しいという式 $L = R a_{n ∣}$ を立てる。
この式を解いて、毎回の返済額 $R = \frac{L}{a _{n ∣}} = \frac{L i}{1 - v ^{n}}$ を求める。

例題

210000 円を年利率 10% の複利で借り、1 年後から毎年末に同じ金額を返済して、2 回で返し終える。毎回の返済額（円）を求めよ。

例題の解答

手順1: $i = 0.1$ , $n = 2$ , $L = 210000$ で、 $v = \frac{1}{1.1} = \frac{10}{11}$ とおく。
手順2: $v^{2} = \frac{100}{121}$ なので、 $a_{2 ∣} = \frac{1 - \frac{100}{121}}{0.1} = \frac{21}{121} \cdot 10 = \frac{210}{121}$ 。（確かめ: $v + v^{2} = \frac{110}{121} + \frac{100}{121} = \frac{210}{121}$ ）
手順3: 返済額を $R$ とすると、 $210000 = R \cdot \frac{210}{121}$ 。
手順4: $R = 210000 \cdot \frac{121}{210} = 121000$ 。
検算: 1 年後の残高は $210000 \times 1.1 - 121000 = 110000$ 、2 年後は $110000 \times 1.1 - 121000 = 0$ となり、ちょうど返し終わる。

答え: $121000$

よくある誤り

現価を考えずに $R = \frac{L}{n}$ に利息を足すなどして求めてしまう誤り。例題で $\frac{210000}{2} = 105000$ に利息をのせても正しい値にはならない。正しくは $L = R a_{n ∣}$ から $R = \frac{L i}{1 - v ^{n}}$ とする。
期末払いなのに、1 回目の支払いを現価 $v^{0} = 1$ のまま数えて $1 + v + \dots + v^{n - 1}$ としてしまう誤り。これは期首払いの式である。1 年後から払うなら、正しくは $v + v^{2} + \dots + v^{n} = \frac{1 - v ^{n}}{i}$ 。
利率を百分率のまま代入してしまう誤り。10% で $a_{n ∣} = \frac{1 - v ^{n}}{10}$ としてしまうのは誤りで、正しくは $i = 0.1$ として $\frac{1 - v ^{n}}{0.1}$ 。
永久年金の現価 $\frac{1}{i}$ を条件なしに使ってしまう誤り。 $v^{n} \to 0$ となるのは $0 < v < 1$ 、つまり $i > 0$ のときだけである。正しくは $i > 0$ のもとで $lim_{n \to \infty} \frac{1 - v ^{n}}{i} = \frac{1}{i}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

債券の価格と最終利回り（大学数学数理ファイナンス・保険数学）
保険・生命年金の現価と純保険料（大学数学数理ファイナンス・保険数学）