保険・生命年金の現価と純保険料

ある人の生死について、次のモデルを考える。この人は、各年度の初めに生存していれば、その 1 年間を確率 $0.9$ で生き延び、確率 $0.1$ で死亡する。この確率は年齢によらず一定で、各年度の生死は独立に決まるものとする。

この人が現在（時刻 $0$）生存しており、次の終身保険に加入する。
- 死亡した年度の末に、保険金 $54$ 万円が支払われる。
- 保険料は、生存している限り毎年度の初め（時刻 $0,1,2,\dots$）に $P$ 万円ずつ支払う（終身払い）。

年利率 $i=0.08$ の複利で割り引くとき、収支相等の原則（保険金の期待現価と保険料の期待現価が等しい）から、年払純保険料 $P$（万円）を求めよ。

ある集団では、年齢によらず、生存している人がその後 $1$ 年間に死亡する確率はつねに $0.02$ であるとする。したがって、ある年齢 $x$ 歳ちょうどの人について、$t$ を $0$ 以上の整数として
$${}_t{p}_x=0.98^t,{}_{t|}{q}_x=0.98^t\times 0.02$$
である。

$x$ 歳ちょうどの人が次の終身保険に加入する。
- 死亡した年度の末に保険金 $1050000$ 円を支払う。
- 保険料は、加入時から毎年度の初めに、生存している限り同額 $P$ 円を払い込む。

年利率 $i=0.05$ の複利で計算し、$v=\frac{1}{1+i}$ とする。収支相等の原則（保険金の期待現価と保険料の期待現価が等しい）により、年払純保険料 $P$（円）を求めよ。

ある人は、現在の年齢にかかわらず、毎年「1 年間生存する確率」が $0.96$、「1 年以内に死亡する確率」が $0.04$ であるとする（各年の生死は前の年の結果だけで決まり、生存していれば次の 1 年も同じ確率にしたがう）。年利率 $i=0.04$ の複利で考え、$v=\frac{1}{1+i}$ とする。

この人が次の終身保険に加入する。
- 死亡したとき、死亡した年度の末に保険金 $2600000$ 円が支払われる。
- 保険料は、生存している限り毎年度の始めに同じ額 $P$ 円を払い込む（加入時に第 1 回を払い込む）。

収支相等の原則（払い込む保険料の期待現価と、支払われる保険金の期待現価が等しい）により、年払純保険料 $P$ を求めよ。単位は円とする。

ある集団の生命表の一部が次のように与えられている。ここで $l_x$ は $x$ 歳ちょうどの生存者数である。
$$l_{40}=1000,l_{41}=990,l_{42}=972$$

$40$ 歳ちょうどの人が、次の保険期間 $2$ 年の定期保険に加入する。
- 加入後 $1$ 年以内に死亡した場合は $1$ 年目の年末に、$1$ 年後から $2$ 年後までの間に死亡した場合は $2$ 年目の年末に、保険金 $1000$ 万円が支払われる。$2$ 年後に生存していれば何も支払われない。
- 保険料は毎年同額 $P$ 万円で、加入時と $1$ 年後の年始に、そのときに生存していれば支払う（年始払い）。

予定利率を年 $5\%$（1 年複利）とし、死亡は上の生命表に従うものとする。収支相等の原則（保険料の期待現価と保険金の期待現価が等しい）によって定まる年払純保険料 $P$（万円）を求めよ。答えは既約分数で答えよ。

ある集団の生命表の一部が次のように与えられている。ここで $l_x$ は $x$ 歳ちょうどの生存者数である。
$$l_{50}=1000,l_{51}=980,l_{52}=950,l_{53}=900$$
この集団の死亡は生命表どおりに起こるものとする。すなわち、$50$ 歳ちょうどの人が時刻 $t$（年、加入時を $t=0$ とする）に生存している確率は $l_{50+t}/l_{50}$、時刻 $k-1$ から時刻 $k$ までの $1$ 年間（第 $k$ 年度）に死亡する確率は $(l_{49+k}-l_{50+k})/l_{50}$ である（$k=1,2,3$）。

$50$ 歳ちょうどの人が、次のような保険期間 $3$ 年の定期保険に加入する。

• 第 $k$ 年度（$k=1,2,3$）に死亡した場合、時刻 $k$ に保険金 $1000000$ 円が $1$ 回だけ支払われる。時刻 $3$ に生存していれば何も支払われない。
• 保険料は時刻 $t=0,1,2$ の $3$ 回、その時点で生存している場合に限り、同じ額 $P$ 円ずつ払い込まれる。

予定利率は年 $i=\frac{1}{19}$（1 年ごとの複利）とし、現価率は $v=\frac{1}{1+i}=0.95$ である。経費は考えない。収支相等の原則（保険料の期待現価と保険金の期待現価が等しい）によって純保険料 $P$ を定めるとき、$P$ を円未満を四捨五入して整数で求めよ。

ある集団の生存者数 $l_x$（$x$ 歳ちょうどの生存者数）が、$0\le x\le 100$ の整数 $x$ について
$$l_x=100-x$$
で与えられているとする（$l_{100}=0$ であり、$100$ 歳を超えて生存する人はいない）。年利率 $i=0.25$（$1$ 年ごとの複利）が一定であるとする。

$96$ 歳ちょうどの人が次の終身保険に加入する。
- 死亡した場合、死亡した年度の末に保険金 $1000$ を支払う。
- 保険料は毎年度の初めに同じ額 $P$ を、被保険者が生存している限り支払う（第 $1$ 回は加入時）。

収支相等の原則（保険料の現価の期待値と保険金の現価の期待値が等しい）により定まる年払純保険料 $P$ を求めよ。

ある集団の生命表の一部が次のように与えられている。ここで $l_x$ は $x$ 歳ちょうどの生存者数である。

$$l_{60}=1000,l_{61}=900,l_{62}=720,l_{63}=576$$

$60$ 歳ちょうどの人が、次の条件の $3$ 年満期の定期保険に加入する。

• 加入後 $3$ 年以内に死亡した場合、死亡した保険年度の末に保険金 $1000$ 万円が支払われる（$3$ 年後に生存していれば何も支払われない）。
• 保険料は毎年同じ額 $P$ 万円で、各保険年度の始めに、被保険者が生存していれば支払う（最大 $3$ 回）。

予定利率は年 $10\%$（1 年複利）で、死亡は生命表に従って起こるものとする。収支相等の原則（保険料の期待現価と保険金の期待現価が等しい）によって定まる年払い純保険料 $P$ を求めよ。

ある集団の生命表の一部が次のように与えられている。ここで $l_x$ は $x$ 歳ちょうどの生存者数である。
$$l_{50}=1000,l_{51}=980,l_{52}=950,l_{53}=900$$

$50$ 歳ちょうどの人が、保険期間 $3$ 年の生死混合保険（養老保険）に加入する。この保険は次のとおりである。

• 加入後 $3$ 年以内に死亡した場合は、死亡した年度の末に保険金 $1$ を支払う。
• $3$ 年後（$53$ 歳ちょうど）に生存していた場合は、その時点で満期保険金 $1$ を支払う。
• 保険料は、加入時・$1$ 年後・$2$ 年後の各時点で、その時点に生存していれば同額 $P$ を払い込む（年払い・全期払い）。

年利率は $i=0.1$（1 年複利）で一定とし、事業費は考えない。収支相等の原則（払い込む保険料の現価の期待値と、支払う保険金の現価の期待値が等しい）によって定まる年払い純保険料 $P$ を求めよ。

正の整数 $\omega$ と、$0$ 以上の整数 $y$ に対して定まる生存数 $l_y$ をもつ生命表を考える。$l_y$ は $0\le y\le \omega -1$ で正、$y\ge \omega$ で $l_y=0$ であり、$l_0\ge l_1\ge \cdots \ge l_{\omega }$ を満たすとする。死亡数を $d_y=l_y-l_{y+1}$ と定める。予定利率を $i>0$ とし、$v=\frac{1}{1+i}$、$d=1-v$ とおく。

$0$ 以上の整数 $x$ と正の整数 $n$ を $x+n\le \omega$ を満たすようにとる。$x$ 歳の人が加入する保険期間 $n$ 年の養老保険（期間内に死亡すればその年度末に $1$ を支払い、$n$ 年後に生存していれば満期に $1$ を支払う）の一時払純保険料と、期始払い・期間 $n$ 年の生命年金（各年度の始めに生存していれば $1$ を支払う）の現価を、それぞれ
$$A=\frac{1}{l_x}\left(\sum _{k=0}^{n-1}{v}^{k+1}{d}_{x+k}+v^n{l}_{x+n}\right),\ddot{a}=\frac{1}{l_x}\sum _{k=0}^{n-1}{v}^k{l}_{x+k}$$
で定める。このとき
$$A=1-d\ddot{a}$$
が成り立つことを証明せよ。

ある集団の生命表の一部が次のように与えられている。ここで $l_x$ は $x$ 歳ちょうどの生存者数である。
$$l_{40}=1000,l_{41}=990,l_{42}=970,l_{43}=940$$
$40$ 歳ちょうどの人が、次の保険期間 $3$ 年の保険に加入する。

• 保険料は毎年同額の $P$ で、各保険年度の初め（加入時点、$1$ 年後、$2$ 年後）に、そのとき生存していれば払い込む。
• 保険期間中に死亡した場合は、死亡した保険年度の末に、保険金 $1000$ に加えて、それまでに払い込んだ保険料の合計額（利息は付けない）を支払う。
• $3$ 年後（$43$ 歳ちょうど）に生存していれば、満期保険金 $1000$ を支払う（このとき保険料の返還はない）。

年利率は $i=0.05$（$1$ 年ごとの複利）で一定とする。収支相等の原則（払い込む保険料の期待現価と、支払う給付の期待現価が等しい）により定まる年払純保険料 $P$ を、既約分数で求めよ。