条件付き確率と乗法定理

$P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ を求め、乗法定理で順に起こる事象の確率を求められる

前提

確率の定義と和事象・余事象（数学A 場合の数と確率）

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算数中学高校大学大学院

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樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
組合せ（数学A 場合の数と確率）
確率の定義と和事象・余事象（数学A 場合の数と確率）

説明

条件付き確率とは、「事象 $A$ が起こったと分かっているときに、事象 $B$ が起こる確率」のことで、 $P_{A} (B)$ と書きます。これを使うと、くじ引きや玉の取り出しのように、前の結果によって次の状況が変わる場面の確率を求められます。さらに乗法定理 $P (A \cap B) = P (A) P_{A} (B)$ を使えば、「1 回目に $A$ 、続いて 2 回目に $B$ 」のように順に起こる事象の確率を、各段階の確率の掛け算で求められます。

なぜそうしてよいのか

全事象を $U$ とし、根元事象はどれも同様に確からしいとします。「 $A$ が起こった」と分かれば、起こりうる結果は $A$ に含まれる $n (A)$ 通りに絞られます。この $n (A)$ 通りも互いに同様に確からしいので、その中で $B$ も起こる結果、つまり $A \cap B$ （ $A$ と $B$ がともに起こる事象）の $n (A \cap B)$ 通りの割合が、 $A$ のもとでの $B$ の確率です。よって $P_{A} (B) = \frac{n ( A \cap B )}{n ( A )}$ となります。分子と分母をそれぞれ $n (U)$ で割ると $P_{A} (B) = \frac{n ( A \cap B ) / n ( U )}{n ( A ) / n ( U )} = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ が得られます。分母に $P (A)$ があるので、 $P (A) > 0$ （ $A$ が起こりうる）ことが前提です。

この式の両辺に $P (A)$ を掛けると $P (A \cap B) = P (A) P_{A} (B)$ となります。これが乗法定理です。「まず $A$ が起こる確率」と「 $A$ が起こった状況で $B$ が起こる確率」を掛ければ、両方が起こる確率になる、という意味です。樹形図で、枝の先へ進むたびにその枝の確率を掛けていく計算は、この定理を使っていることになります。

手順

事象に名前をつける。先に起こる（または条件として分かっている）事象を $A$ 、その後に起こる（確率を知りたい）事象を $B$ とする。
$P (A)$ を求める。全体 $U$ の中で $A$ が起こる確率を数える。このとき $P (A) > 0$ であることを確かめる。
$P_{A} (B)$ を求める。 $A$ が起こった後の状況（残りの個数など）だけを考えて、その中で $B$ が起こる確率を数える。条件付き確率そのものを問われたときは $P_{A} (B) = \frac{n ( A \cap B )}{n ( A )} = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ で計算する。
乗法定理で掛ける。 $P (A \cap B) = P (A) P_{A} (B)$ を計算し、約分して答える。

例題

赤玉 3 個と白玉 2 個が入った袋から、玉を 1 個ずつ 2 回取り出す。取り出した玉は袋に戻さない。2 回とも赤玉である確率を求めよ。

例題の解答

手順1：1 回目に赤玉が出る事象を $A$ 、2 回目に赤玉が出る事象を $B$ とする。求めるのは $P (A \cap B)$ である。
手順2：最初、袋には 5 個の玉があり、そのうち赤玉は 3 個なので $P (A) = \frac{3}{5}$ （ $> 0$ ）。
手順3：1 回目に赤玉が出たとき、袋の中は赤玉 2 個・白玉 2 個の計 4 個になる。この状況で赤玉が出る確率は $P_{A} (B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ 。
手順4：乗法定理より $P (A \cap B) = P (A) P_{A} (B) = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$
（確認：組合せで数えると $_{3} C_{2} /_{5} C_{2} = 3/10$ で一致する。）

答え: $\frac{3}{10}$

よくある誤り

取り出した玉を戻さないのに、2 回目も最初と同じ状況だと考えて $\frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{25}$ としてしまう誤り。正しくは 2 回目は赤玉 2 個・計 4 個の状況なので $\frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$ 。
$P_{A} (B)$ と $P_{B} (A)$ を取り違える誤り。 $P_{A} (B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ は「 $A$ が起こったときの $B$ 」で、分母は条件の側の $P (A)$ 。 $P_{B} (A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ とは一般に値が異なる。
条件付き確率を求めるときに、全体の個数で割って $\frac{n ( A \cap B )}{n ( U )}$ としてしまう誤り。これは $P (A \cap B)$ であり、正しくは条件 $A$ の個数で割って $P_{A} (B) = \frac{n ( A \cap B )}{n ( A )}$ 。
$P (A \cap B)$ を求めるのに $P (A) \times P (B)$ と単純に掛けてしまう誤り。2 つ目の因数は $A$ が起こった後の確率 $P_{A} (B)$ でなければならず、正しくは $P (A \cap B) = P (A) P_{A} (B)$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

原因の確率（ベイズの定理）（数学A 場合の数と確率）
条件付き分布と全期待値の公式（大学数学確率・統計）
マルコフ連鎖と推移確率（大学数学確率・統計）
同時エントロピーと条件付きエントロピー（大学数学情報理論・符号理論）
ハッシュの衝突の期待値（大学数学アルゴリズムと計算量）
生命表と生存・死亡確率（大学数学数理ファイナンス・保険数学）
ハーディ・ワインベルグの法則（高校生物生物の進化と系統）