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確率・統計の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学確率・統計

ある電子部品の寿命 $X$ （年）は、確率密度関数
$f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{3} e^{- x /3} 0 (x \geq 0) (x < 0)$
をもつ指数分布に従うとする。この部品が $2$ 年後に故障していないとき、 $5$ 年後にも故障していない条件付き確率 $P (X > 5 ∣ X > 2)$ を求めよ。

この問題で使うもの

一様分布・指数分布（説明と入口の問題）
広義積分（説明と入口の問題）
条件付き確率と乗法定理（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（61 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

指数分布の確率を広義積分で求め、指数分布の無記憶性を使います。まず $P (X > t)$ を $t$ の式で表しましょう。

ヒント 2

$P (X > t) = \int_{t}^{\infty} \frac{1}{3} e^{- x /3} d x$ を計算します。また、条件付き確率は $P (X > 5 ∣ X > 2) = \frac{P ( X > 5 )}{P ( X > 2 )}$ です。

ヒント 3

$P (X > t) = lim_{b \to \infty} (e^{- t /3} - e^{- b /3}) = e^{- t /3}$ となるので、 $P (X > 5) = e^{- 5/3}$ 、 $P (X > 2) = e^{- 2/3}$ です。あとはこの比を計算しましょう。

答えと解説

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e^{- 1}

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解説を読む

手順 1： $P (X > t)$ を広義積分で求める。

$t \geq 0$ とする。無限区間の積分なので、上端を $b$ として極限をとる。
$P (X > t) = \int_{t}^{\infty} \frac{1}{3} e^{- x /3} d x = b \to \infty lim [- e^{- x /3}]_{t}^{b} = b \to \infty lim (e^{- t /3} - e^{- b /3}) = e^{- t /3} .$
( $b \to \infty$ のとき $e^{- b /3} \to 0$ である。)

手順 2：条件付き確率の定義を使う。

事象 $X > 5$ が起これば $X > 2$ も起こるので、 ${X > 5} \cap {X > 2} = {X > 5}$ である。よって
$P (X > 5 ∣ X > 2) = \frac{P ( X > 5 )}{P ( X > 2 )} = \frac{e ^{- 5/3}}{e ^{- 2/3}} = e^{- 5/3 + 2/3} = e^{- 1} .$

補足（無記憶性）： 結果は $P (X > 3) = e^{- 3/3} = e^{- 1}$ と一致する。一般に指数分布では $P (X > s + t ∣ X > s) = \frac{e ^{- (s + t) /3}}{e ^{- s /3}} = e^{- t /3} = P (X > t)$ が成り立つ。これを無記憶性という。「すでに $2$ 年もった」という情報は、その後 $3$ 年もつ確率に影響しない。

答え： $e^{- 1}$

別解

指数分布の生存関数は $P (X > t) = \int_{t}^{\infty} \frac{1}{3} e^{- x /3} d x = e^{- t /3}$ ( $t \geq 0$ )。
条件付き確率は、 ${X > 5} \subset {X > 2}$ なので
$P (X > 5 ∣ X > 2) = \frac{P ( X > 5 )}{P ( X > 2 )} = \frac{e ^{- 5/3}}{e ^{- 2/3}} = e^{- 1} .$
これは無記憶性 $P (X > s + t ∣ X > s) = P (X > t)$ から $P (X > 3) = e^{- 3/3} = e^{- 1}$ とも一致する（検算）。数値は約 0.3679。

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