確率・統計

当たりの出る確率が $\frac{1}{4}$ のくじがある。このくじを 1 回ずつ引き、引いたくじは毎回もとに戻す。各回の結果は互いに独立であるとする。初めて当たりが出るまでに引いた回数（当たりが出た回も含める）を $X$ とする。$X$ の確率分布は
$$P(X=k)=\frac{1}{4}{\left(\frac{3}{4}\right)}^{k-1}(k=1,2,3,\dots )$$
である。$X$ の期待値 $E(X)$ を求めよ。

1 個のさいころを、$1$ または $2$ の目が出るまで繰り返し投げる。$1$ または $2$ の目がはじめて出るまでに投げた回数（その回を含む）を $X$ とする。$X$ が偶数となる確率 $P(X\text{ が偶数})$ を求めよ。

赤玉 $1$ 個と白玉 $3$ 個が入った袋がある。袋から玉を $1$ 個取り出し、色を確かめてから袋に戻す。この操作を、赤玉が初めて出るまで繰り返す。赤玉が初めて出るまでに行った操作の回数（赤玉が出た回も含める）を $X$ とするとき、$X$ の期待値 $E(X)$ を求めよ。

確率変数 $X$ の確率密度関数が
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2e^{-2x}& (x\ge 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
で与えられている（パラメータ $2$ の指数分布）。$X>1$ という条件のもとで $X>3$ となる条件付き確率 $P(X>3\mid X>1)$ を求めよ。

ある電子部品の寿命 $X$（単位：年）は、確率密度関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}{e}^{-x/2}& (x\ge 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
の指数分布に従うとする。この部品が $3$ 年たっても故障していなかったとき、さらに $2$ 年以上故障しない確率、すなわち条件付き確率 $P(X>5\mid X>3)$ を求めよ。

ある電子部品の寿命 $X$（年）は、確率密度関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3}{e}^{-x/3}& (x\ge 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
をもつ指数分布に従うとする。この部品が $2$ 年後に故障していないとき、$5$ 年後にも故障していない条件付き確率 $P(X>5\mid X>2)$ を求めよ。

定数 $c$ を用いて、確率変数 $X$ の確率密度関数が
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}c{x}^3(1-x{)}^2& (0<x<1)\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}$$
で与えられている。ベータ関数 $B(p,q)={\int }_0^1{x}^{p-1}(1-x{)}^{q-1}dx$ とガンマ関数の関係を用いて、定数 $c$ の値を求めよ。

$c$ を定数とする。確率変数 $X$ の確率密度関数が
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}c{x}^2(1-x{)}^3& (0<x<1)\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}$$
で与えられている。ベータ関数 $B(p,q)={\int }_0^1{x}^{p-1}(1-x{)}^{q-1}dx$ $(p>0,q>0)$ と、関係式 $B(p,q)=\frac{\Gamma (p)\Gamma (q)}{\Gamma (p+q)}$、およびガンマ関数の漸化式 $\Gamma (s+1)=s\Gamma (s)$、$\Gamma (1)=1$ を用いて、定数 $c$ の値を求めよ。

定数 $c$ に対して、連続型確率変数 $X$ の確率密度関数が
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}c{x}^2(1-x{)}^3& (0<x<1)\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}$$
で与えられている。ベータ関数 $B(p,q)={\int }_0^1{x}^{p-1}(1-x{)}^{q-1}dx$ $(p>0,q>0)$ と、ガンマ関数との関係 $B(p,q)=\frac{\Gamma (p)\Gamma (q)}{\Gamma (p+q)}$ を用いて、定数 $c$ の値を求めよ。

確率変数 $X$ は $0,1$ の値を、確率変数 $Y$ は $0,1,2$ の値をとる。$X,Y$ の同時確率分布は次の表のとおりである。ただし、$a,b$ は定数である。

$X$ と $Y$ が互いに独立であるとき、$a,b$ の値を求め、組 $(a,b)$ の形で答えよ。

確率変数 $X$ は $0,1$ の値を、確率変数 $Y$ は $0,1,2$ の値をとり、その同時確率分布は次の表で与えられる。ここで $a,b$ は定数である。

$X$ と $Y$ が互いに独立であるとき、$a,b$ の値をこの順に組 $(a,b)$ で求めよ。

確率変数 $X$ は $0,1$ の値を、確率変数 $Y$ は $0,1,2$ の値をとり、$X,Y$ の同時確率分布は次の表で与えられる。ここで $a,b$ は定数である。

$X$ と $Y$ が互いに独立であるとき、$a,b$ の値を求め、組 $(a,b)$ の形で答えよ。

確率変数 $X,Y$ はどちらも $0$ または $1$ の値をとり、その同時分布は次の表で与えられている。

$$\begin{array}{ccc}& Y=0& Y=1\\ X=0& \frac{2}{5}& \frac{1}{10}\\ X=1& \frac{1}{5}& \frac{3}{10}\end{array}$$

共分散 $\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$ を利用して、分散 $V(2X+Y)$ を求めよ。

確率変数 $X,Y$ はそれぞれ $0$ または $1$ の値をとり、その同時確率分布が次で与えられている。
$$P(X=0,Y=0)=\frac{2}{5},P(X=0,Y=1)=\frac{1}{10},P(X=1,Y=0)=\frac{1}{5},P(X=1,Y=1)=\frac{3}{10}$$
共分散 $\mathrm{Cov}(X,Y)$ を求め、それを用いて分散 $V(2X-Y)$ を求めよ。答えとして $V(2X-Y)$ の値を答えよ。

確率変数 $X,Y$ はどちらも $0$ または $1$ の値をとり、同時分布が次のように与えられている。
$$P(X=0,Y=0)=\frac{2}{5},P(X=0,Y=1)=\frac{1}{10},P(X=1,Y=0)=\frac{1}{5},P(X=1,Y=1)=\frac{3}{10}$$
共分散 $\mathrm{Cov}(X,Y)$ を用いて、分散 $V(2X-Y)$ を求めよ。

1 個のさいころを投げ、出た目を $Y$ とする。次に、$1$ から $Y$ までの整数が 1 つずつ書かれた $Y$ 枚のカードから 1 枚を無作為に取り出し、そのカードに書かれた数を $X$ とする。$X$ の期待値 $E(X)$ を求めよ。

1 個のさいころを投げ、出た目を $Y$ とする。続いて、$1$ から $Y$ までの $Y$ 個の整数の中から 1 つを等しい確率で選び、選んだ整数を $X$ とする。たとえば $Y=3$ のときは、$1,2,3$ のどれかがそれぞれ確率 $\frac{1}{3}$ で選ばれる。このとき、$X$ の期待値 $E(X)$ を求めよ。

確率変数 $Y$ は値 $1,2,3$ をとり、その確率は
$$P(Y=1)=\frac{1}{2},P(Y=2)=\frac{1}{3},P(Y=3)=\frac{1}{6}$$
である。$Y=y$ $(y=1,2,3)$ が与えられたとき、確率変数 $X$ の条件付き分布は、$1$ から $2y$ までの整数 $1,2,\dots ,2y$ のそれぞれを確率 $\frac{1}{2y}$ でとる分布である。$X$ の期待値 $E(X)$ を求めよ。

確率変数 $Z$ は標準正規分布 $N(0,1)$ に従い、その確率密度関数は
$$\phi (z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}(-\infty <z<\infty )$$
である。ガウス積分 ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$ を用いてよいものとして、$Z$ の 4 次の積率 $E(Z^4)$ を求めよ。

確率変数 $Z$ が標準正規分布 $N(0,1)$ に従うとする。すなわち $Z$ の確率密度関数は
$$\phi (z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}(-\infty <z<\infty )$$
である。ガウス積分 ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$ を用いてよい。このとき、$Z$ の 4 次の積率 $E(Z^4)$ を求めよ。

確率変数 $Z$ は標準正規分布 $N(0,1)$ に従うとする。つまり、$Z$ の確率密度関数は
$$f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}(-\infty <z<\infty )$$
である。このとき、$Z$ の 4 次の積率 $E(Z^4)={\int }_{-\infty }^{\infty }{z}^{4}f(z)dz$ を求めよ。必要なら、ガウス積分 ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$ と、任意の 0 以上の整数 $n$ について $\underset{z\to \pm \infty }{\lim }{z}^n{e}^{-\frac{z^2}{2}}=0$ であることを用いてよい。

確率変数 $X$ の確率分布が次の表で与えられている。

$$\begin{array}{ccccc}X& 1& 2& 3& \text{計}\\ P& \frac{1}{2}& \frac{1}{3}& \frac{1}{6}& 1\end{array}$$

$X$ の積率母関数 $M(t)=E(e^{tX})$（$t$ は実数）を求め、それを微分して $X$ の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ を求めよ。答えは $(E(X),V(X))$ の順の組で答えよ。

確率変数 $X$ は値 $1,2,3$ をそれぞれ確率 $\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{6}$ でとる。$X$ の積率母関数 $M(t)=E\left(e^{tX}\right)$（$t$ は実数）を用いて、$X$ の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ をこの順に求めよ。

確率変数 $X$ の確率分布が次で与えられている。
$$P(X=0)=\frac{1}{2},P(X=1)=\frac{1}{3},P(X=3)=\frac{1}{6}$$
$X$ の積率母関数 $M(t)=E(e^{tX})$ を求め、それを微分することで、$X$ の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ を求めよ。答えは $(E(X),V(X))$ の組で答えよ。

確率変数 $X$ は $-1,0,1$ の値をとり、その確率分布は
$$P(X=-1)=\frac{1}{4},P(X=0)=\frac{1}{2},P(X=1)=\frac{1}{4}$$
であるとする。$i$ を虚数単位、$t$ を実数とするとき、$X$ の特性関数 $\phi (t)=E\left(e^{itX}\right)$ を、虚数単位 $i$ を含まない $t$ の式で表せ。

確率変数 $X$ は、確率密度関数が
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2e^{-2x}& (x\ge 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
である指数分布に従うとする。$X$ の特性関数 $\phi (t)=E\left(e^{itX}\right)$（$t$ は実数、$i$ は虚数単位）を $t$ の式で求めよ。

確率変数 $X$ は、確率密度関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}3e^{-3x}& (x\ge 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
をもつ指数分布に従うとする。$X$ の特性関数 $\phi (t)=E\left(e^{itX}\right)$（$t$ は実数、$i$ は虚数単位）を求めよ。

確率変数 $X$ の期待値は $E(X)=50$、分散は $V(X)=16$ である。$X$ の分布についてはこれ以外に何もわかっていない。チェビシェフの不等式
$$P(|X-\mu |\geqq k)\leqq \frac{{\sigma }^2}{k^2}(\mu =E(X),{\sigma }^2=V(X),k>0)$$
を用いると、確率 $P(|X-50|\geqq 10)$ の上限が得られる。この不等式の右辺の値を求めよ。

確率変数 $X$ の期待値は $E(X)=50$、分散は $V(X)=16$ であることだけがわかっていて、分布の形はわからないとする。チェビシェフの不等式
$$P(|X-\mu |\ge k)\le \frac{{\sigma }^2}{k^2}(k>0)$$
（$\mu =E(X)$, ${\sigma }^2=V(X)$）を用いると、確率 $P(|X-50|\ge 10)$ の上限が得られる。この不等式の右辺の値を求めよ。

確率変数 $X$ の期待値が $E(X)=50$、分散が $V(X)=16$ であることだけがわかっている。チェビシェフの不等式を用いて、確率 $P(|X-50|\geqq 10)$ の上限を求めよ。すなわち、チェビシェフの不等式から得られる
$$P(|X-50|\geqq 10)\leqq c$$
の右辺 $c$ の値を求めよ。

確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも
$$P(X_i=1)=P(X_i=0)=\frac{1}{2}(i=1,2,\dots ,n)$$
に従うとする（公平な硬貨を $n$ 回投げ、表なら $1$、裏なら $0$ とする）。$n$ は正の整数とし、標本平均を
$${\bar{X}}_n=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}$$
とおく。

${\bar{X}}_n$ にチェビシェフの不等式を用いると、
$$P\left(\left|{\bar{X}}_n-\frac{1}{2}\right|\geqq \frac{1}{10}\right)\leqq \frac{V({\bar{X}}_n)}{{\left(\frac{1}{10}\right)}^2}$$
が成り立つ。この右辺の値が $\frac{1}{100}$ 以下となるような最小の正の整数 $n$ を求めよ。

1 個のさいころを $n$ 回投げ、$k$ 回目に出た目を $X_k$ $(k=1,2,\dots ,n)$ とする。$n$ は正の整数であり、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも $1$ から $6$ の各値を確率 $\frac{1}{6}$ ずつとるものとする。標本平均を
$$\bar{X}=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}$$
とおく。

チェビシェフの不等式
$$P\left(\left|\bar{X}-E(\bar{X})\right|\ge \epsilon \right)\le \frac{V(\bar{X})}{{\epsilon }^2}(\epsilon >0)$$
を $\epsilon =\frac{1}{2}$ として用いると、$P\left(\left|\bar{X}-\frac{7}{2}\right|\ge \frac{1}{2}\right)$ の上界 $\frac{V(\bar{X})}{(1/2{)}^2}$ が得られ、これは $n\to \infty$ で $0$ に近づく（大数の弱法則）。この上界 $\frac{V(\bar{X})}{(1/2{)}^2}$ が $0.01$ 以下となるような最小の正の整数 $n$ を求めよ。

1 個のさいころを $n$ 回投げ、$i$ 回目に出た目を $X_i$ $(i=1,2,\dots ,n)$ とする。$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも $1$ から $6$ の目が同様に確からしく出るものとする。
$$Y_n=\frac{X_1^2+X_2^2+\cdots +X_n^2}{n}$$
とおく。このとき、任意の正の実数 $\epsilon$ に対して
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(|Y_n-c|\geqq \epsilon \right)=0$$
が成り立つような定数 $c$ がただ 1 つ存在する。$c$ の値を求めよ。

ある窓口で 1 人の客の対応にかかる時間（分）を確率変数とみなす。$100$ 人の客の対応時間 $X_1,X_2,\dots ,X_{100}$ は互いに独立で、どれも期待値 $2$、標準偏差 $2$ の同じ分布にしたがうとする。対応時間の合計 $S=X_1+X_2+\cdots +X_{100}$ について、確率 $P(S\leqq 220)$ を中心極限定理による正規分布の近似を用いて求めよ。ただし、標準正規分布にしたがう確率変数 $Z$ について $P(Z\leqq 1)=0.8413$ を用いてよい。

確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_{300}$ は互いに独立で、それぞれ区間 $[0,1]$ 上の一様分布に従うとする。
$$S=X_1+X_2+\cdots +X_{300}$$
とおく。中心極限定理を用いて $S$ の分布を正規分布で近似し、確率 $P(S\leqq 160)$ の近似値を求めよ。ただし、標準正規分布に従う確率変数 $Z$ について $P(0\leqq Z\leqq 2)=0.4772$ とし、答えは小数第 4 位までの小数で答えよ。

確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_{48}$ は互いに独立で、どれも区間 $[0,1]$ 上の一様分布に従うとする。これらの和を
$$S=X_1+X_2+\cdots +X_{48}$$
とおく。中心極限定理による正規分布での近似を用いて、確率 $P(S\geqq 26)$ の近似値を小数第 4 位まで求めよ。ただし、標準正規分布 $N(0,1)$ に従う確率変数 $Z$ について $P(Z\leqq 1)=0.8413$ とする。

ある町の天気は毎日「晴れ」か「雨」のどちらかであり、翌日の天気はその日の天気だけで次のように決まるものとする。

• ある日が晴れならば、翌日が晴れである確率は $\frac{3}{4}$、雨である確率は $\frac{1}{4}$ である。
• ある日が雨ならば、翌日が晴れである確率は $\frac{1}{2}$、雨である確率は $\frac{1}{2}$ である。

すなわち、状態を $1$（晴れ）、$2$（雨）とすると、天気は推移確率行列
$$P=\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{4}& \frac{1}{4}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$$
をもつ斉次マルコフ連鎖 $X_0,X_1,X_2,\dots$ に従う（$(i,j)$ 成分は状態 $i$ から状態 $j$ へ移る確率）。今日（$0$ 日目）は晴れである。$n$ を $0$ 以上の整数とするとき、$n$ 日後が晴れである確率 $p_n=P(X_n=1)$ を $n$ の式で求めよ。

ある町の天気は「晴れ」か「雨」のどちらかであり、翌日の天気はその日の天気だけで次の確率で決まるとする。

つまり、状態を 晴れ $=1$、雨 $=2$ とするとき、天気の列 $X_0,X_1,X_2,\dots$ は推移確率行列
$$P=\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{4}& \frac{1}{4}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$$
の斉次マルコフ連鎖である。$0$ 日目は晴れ（$X_0=1$）であった。正の整数 $n$ に対して、$n$ 日目が晴れである確率 $p_n=P(X_n=1)$ を $n$ の式で求めよ。

ある工場の機械は、毎朝「稼働」か「故障」のどちらかの状態にある。翌朝の状態は、その日の朝の状態だけで次のように確率的に決まるものとする。

• その日の朝に稼働していれば、翌朝も稼働している確率は $\frac{3}{4}$、故障している確率は $\frac{1}{4}$ である。
• その日の朝に故障していれば、その日のうちに修理が行われ、翌朝に稼働している確率は $\frac{1}{2}$、故障したままである確率は $\frac{1}{2}$ である。

すなわち、状態を（稼働, 故障）の順に並べた推移確率行列は
$$P=\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{4}& \frac{1}{4}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$$
である（第 $i$ 行第 $j$ 列が、状態 $i$ から状態 $j$ へ移る確率）。

$0$ 日目の朝、機械は故障していた。$n$ を $0$ 以上の整数とするとき、$n$ 日目の朝に機械が稼働している確率 $p_n$ を $n$ の式で求めよ。

ある町の天気は、毎日「晴れ」か「雨」のどちらかであるとする。天気の変わり方は次の規則に従う。

• ある日が晴れのとき、翌日が雨になる確率は $\frac{1}{4}$、晴れになる確率は $\frac{3}{4}$
• ある日が雨のとき、翌日が晴れになる確率は $\frac{1}{3}$、雨になる確率は $\frac{2}{3}$

翌日の天気は当日の天気だけで決まり、それより前の天気には関係しないものとする。$n$ を正の整数とし、今日から $n$ 日後が雨である確率を $r_n$ とする。今日の天気にかかわらず、極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{r}_n$ を求めよ。

ある町の天気は毎日「晴れ」か「雨」のどちらかであり、次のようなマルコフ連鎖に従うものとする。

• 今日が晴れのとき、明日が雨である確率は $\frac{1}{5}$、晴れである確率は $\frac{4}{5}$
• 今日が雨のとき、明日が晴れである確率は $\frac{1}{3}$、雨である確率は $\frac{2}{3}$

状態を（晴れ, 雨）の順に並べると、推移確率行列は
$$P=\left(\begin{array}{cc}\frac{4}{5}& \frac{1}{5}\\ \frac{1}{3}& \frac{2}{3}\end{array}\right)$$
である。$n$ 日後が雨である確率は、最初の日の天気によらず、$n\to \infty$ のとき一定の値に近づく。この極限の値を求めよ。

ある町の天気を「晴れ」と「雨」の 2 つの状態だけで考える。翌日の天気は当日の天気だけで決まり、次の規則に従うものとする。

• 晴れの日の翌日が雨になる確率は $\frac{1}{5}$、晴れになる確率は $\frac{4}{5}$
• 雨の日の翌日が晴れになる確率は $\frac{2}{5}$、雨になる確率は $\frac{3}{5}$

$n$ 日目の天気を $X_n$（$n$ は 0 以上の整数）とすると、$X_0,X_1,X_2,\dots$ は状態の順を（晴れ, 雨）とした推移確率行列
$$P=\left(\begin{array}{cc}\frac{4}{5}& \frac{1}{5}\\ \frac{2}{5}& \frac{3}{5}\end{array}\right)$$
をもつマルコフ連鎖である。このマルコフ連鎖では、最初の日の天気によらず $n\to \infty$ のときの $X_n$ の分布は、$\pi P=\pi$ と各成分の和が $1$ であることを満たすただ 1 つの確率分布 $\pi$（定常分布）に収束することが知られている。

$\underset{n\to \infty }{\lim }P(X_n=\text{雨})$ を求めよ。

ある迷路に部屋 $\mathrm{A}$、部屋 $\mathrm{B}$ と出口があり、ネズミが $1$ 分ごとに $1$ 回、次の規則で移動する（各回の移動は、それまでの経過とは独立に、現在いる場所だけで決まる）。

• 部屋 $\mathrm{A}$ にいるとき：確率 $\frac{2}{3}$ で部屋 $\mathrm{B}$ へ移り、確率 $\frac{1}{3}$ で部屋 $\mathrm{A}$ にとどまる。
• 部屋 $\mathrm{B}$ にいるとき：確率 $\frac{1}{2}$ で出口に到達し、確率 $\frac{1}{2}$ で部屋 $\mathrm{A}$ へ戻る。

ネズミははじめ部屋 $\mathrm{A}$ にいる。出口に初めて到達するまでの移動回数の期待値を求めよ。ただし、この期待値が有限であることは用いてよい。

正方形 $\mathrm{ABCD}$ の頂点の上を点 $\mathrm{P}$ が動く。点 $\mathrm{P}$ は $1$ 回の移動で、いまいる頂点に隣り合う $2$ つの頂点のどちらかへ、それぞれ確率 $\frac{1}{2}$ で移る。各回の移動は互いに独立とする。点 $\mathrm{P}$ ははじめ頂点 $\mathrm{A}$ にある。点 $\mathrm{P}$ が初めて頂点 $\mathrm{C}$ に到達するまでの移動回数の期待値を求めよ。ただし、この期待値は有限であるとしてよい。

3 つの部屋 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ と出口があり、扉は次の 4 枚だけである。

• $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ を結ぶ扉
• $\mathrm{A}$ と $\mathrm{C}$ を結ぶ扉
• $\mathrm{B}$ と $\mathrm{C}$ を結ぶ扉
• $\mathrm{C}$ と出口を結ぶ扉

1 匹のネズミが部屋 $\mathrm{A}$ にいる。ネズミは 1 回の移動ごとに、いまいる部屋にある扉のうち 1 枚を等しい確率で選び、その扉を通って隣の部屋（または出口）へ移る。選び方は過去の移動とは独立である。ネズミが出口に出た時点で移動を終える。部屋 $\mathrm{A}$ から出発して出口に出るまでの移動回数の期待値を求めよ。

$\lambda >0$ を未知の母数とする。ある窓口に 1 時間あたりに来る客の人数 $X$ は、確率関数
$$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}(k=0,1,2,\dots )$$
に従うとする（ただし $0!=1$）。異なる 7 つの時間帯で客の人数を互いに独立に観測したところ、
$$3,1,0,2,4,1,2$$
という結果を得た。この観測結果にもとづく $\lambda$ の最尤推定値を求めよ。

$p$ を $0<p<1$ を満たす未知の母数とする。ある試行を成功するまで繰り返し、初めて成功するまでの回数 $X$（成功した回も数える）は、確率関数
$$P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p(k=1,2,3,\dots )$$
にしたがうとする。この実験を互いに独立に $4$ 回行ったところ、$X$ の観測値は $3,1,4,2$ であった。このデータにもとづく $p$ の最尤推定値を求めよ。

表が出る確率が $p$ $(0<p<1)$ の硬貨があり、$p$ は未知とする。「表が初めて出るまで硬貨を投げ続け、投げた回数を記録する」という試行を互いに独立に $5$ 回行う。$1$ 回の試行で記録される回数 $X$ は
$$P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p(k=1,2,3,\dots )$$
に従う。記録された回数は
$$2,5,1,3,4$$
であった。このデータにもとづく $p$ の最尤推定値を求めよ。

$n$ を $2$ 以上の整数とする。確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも平均 $\mu$、分散 ${\sigma }^2$（$\sigma >0$）の同じ分布に従うとする。標本平均を $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ とし、$n$ で割った標本分散
$$S^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2$$
を考える。期待値 $E(S^2)$ を $n$ と $\sigma$ を用いて表せ。

$n$ を $2$ 以上の整数とする。確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも期待値 $m$、分散 ${\sigma }^2$（$\sigma >0$）の同じ分布に従うとする。標本平均を $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ とし、
$$S^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2$$
とおく。期待値 $E(S^2)$ を $n$ と $\sigma$ を用いて表せ。

$n$ を $2$ 以上の整数とする。$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも同じ確率分布に従う確率変数であり、$E(X_i)=\mu$、$V(X_i)={\sigma }^2$ $(i=1,2,\dots ,n)$ とする（$\mu$, ${\sigma }^2$ はともに未知の定数で、${\sigma }^2>0$）。標本平均を $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ とする。

$n$ だけで決まる定数 $c$ を用いて
$$T=c\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$$
とおく。$\mu$, ${\sigma }^2$ の値によらず $E(T)={\sigma }^2$ が成り立つ（$T$ が ${\sigma }^2$ の不偏推定量となる）ような $c$ を、$n$ を用いて表せ。

確率変数 $X$ は区間 $(0,1)$ 上の一様分布に従うとする。すなわち $X$ の確率密度関数は
$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}1& (0<x<1)\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}$$
である。$Y=X^3$ とおくとき、$0<y<1$ における $Y$ の確率密度関数 $f_Y(y)$ を $y$ の式で求めよ。

確率変数 $X$ は区間 $(0,1)$ 上の一様分布に従い、その確率密度関数は
$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}1& (0<x<1)\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}$$
であるとする。$Y=-\log X$ とおく（$\log$ は自然対数）。$y>0$ における $Y$ の確率密度関数 $f_Y(y)$ を $y$ の式で求めよ。

連続型確率変数 $X$ の確率密度関数が
$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x}& (x\geqq 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
で与えられている。$Y=\sqrt{X}$ とおくとき、$y>0$ における $Y$ の確率密度関数 $f_Y(y)$ を $y$ の式で求めよ。

確率変数 $X$ はパラメータ $2$ のポアソン分布に従い、確率変数 $Y$ はパラメータ $3$ のポアソン分布に従う。$X$ と $Y$ は独立であるとする。このとき、確率 $P(X+Y=2)$ を求めよ。

確率変数 $X$ と $Y$ は独立であるとする。$X$ は平均 $2$ のポアソン分布に、$Y$ は平均 $3$ のポアソン分布に従う。すなわち、$0$ 以上の整数 $k$ に対して
$$P(X=k)=e^{-2}\frac{2^k}{k!},P(Y=k)=e^{-3}\frac{3^k}{k!}$$
である。確率 $P(X+Y=2)$ を求めよ。

確率変数 $X$ はパラメータ $2$ のポアソン分布に、確率変数 $Y$ はパラメータ $3$ のポアソン分布に従う。$X$ と $Y$ は互いに独立である。このとき、確率 $P(X+Y=2)$ を求めよ。

確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n,\dots$ は互いに独立で、どれも次の確率分布にしたがうとする。
$$P(X_k=-1)=\frac{1}{4},P(X_k=0)=\frac{1}{2},P(X_k=2)=\frac{1}{4}(k=1,2,3,\dots )$$
正の整数 $n$ に対して
$$Y_n=\frac{X_1^2+X_2^2+\cdots +X_n^2}{n}$$
とおく。ある定数 $c$ が存在して、任意の正の数 $\epsilon$ に対して
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(|Y_n-c|\ge \epsilon \right)=0$$
が成り立つ。この定数 $c$ を求めよ。

$n$ を正の整数とする。確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも区間 $[0,1]$ 上の一様分布（確率密度関数 $f(x)=1$ $(0\le x\le 1)$、それ以外で $f(x)=0$）に従うとする。標本平均を
$${\bar{X}}_n=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}$$
とおく。チェビシェフの不等式を ${\bar{X}}_n$ に用いて得られる評価
$$P\left(\left|{\bar{X}}_n-\frac{1}{2}\right|\ge \frac{1}{10}\right)\le (\text{上界})$$
の右辺の上界が $\frac{1}{20}$ 以下になるような最小の正の整数 $n$ を求めよ。

$n$ を正の整数とする。確率変数 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも確率密度関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x& (0\le x\le 1)\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}$$
をもつ連続型確率変数とする。標本平均を
$${\bar{X}}_n=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}$$
とおく。

どんな正の実数 $\epsilon$ に対しても
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(\left|{\bar{X}}_n-a\right|<\epsilon \right)=1$$
が成り立つような実数の定数 $a$ はただ 1 つ存在する。この $a$ を求めよ。

連続型確率変数 $X$ の確率密度関数が、定数 $c$ を用いて
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}c{x}^2(2-x)& (0\le x\le 2)\\ 0& (\text{otherwise})\end{array}$$
で与えられている。$X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

確率変数 $X$ は区間 $[-1,2]$ 上の一様分布に従うとし、$Y=X^2$ とおく。$0<y<1$ における $Y$ の確率密度関数 $g(y)$ を $y$ の式で表せ。

状態空間 $\{1,2,3\}$ 上の時間的に一様なマルコフ連鎖 $(X_n{)}_{n\ge 0}$ があり、その推移確率行列 $P=(p_{ij})$（$p_{ij}=P(X_{n+1}=j\mid X_n=i)$）が
$$P=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{2}& \frac{1}{4}\\ 0& \frac{1}{3}& \frac{2}{3}\end{array}\right)$$
で与えられている。この連鎖の定常分布 $\pi =({\pi }_1,{\pi }_2,{\pi }_3)$（$\pi P=\pi$, ${\pi }_1+{\pi }_2+{\pi }_3=1$, ${\pi }_i\ge 0$ を満たすもの）を求め、組 $({\pi }_1,{\pi }_2,{\pi }_3)$ の形で答えよ。

$\theta >0$ を未知の母数とする。確率密度関数
$$f(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}\theta x^{\theta -1}& (0<x<1)\\ 0& (\text{otherwise})\end{array}$$
をもつ母集団から、大きさ $4$ の無作為標本を抽出したところ、観測値は
$$\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{2}$$
であった。この観測値に基づく $\theta$ の最尤推定値を求めよ。

確率変数 $X$ はパラメータ $1$ のポアソン分布に従う。すなわち
$$P(X=k)=\frac{e^{-1}}{k!}(k=0,1,2,\dots )$$
である。確率変数 $Y=2^X$ の分散 $V(Y)$ を求めよ。

$1$ から $6$ までの目が等しい確率で出るさいころを $2$ 回投げ、出た目を順に $D_1,D_2$ とする。$X=\min (D_1,D_2)$, $Y=\max (D_1,D_2)$ とおくとき、共分散 $\mathrm{Cov}(X,Y)$ を求めよ。

状態空間 $\{0,1,2,3\}$ 上の時間的に一様なマルコフ連鎖 $(X_n{)}_{n\ge 0}$ があり、推移確率 $p_{ij}=P(X_{n+1}=j\mid X_n=i)$ は次のとおりである。
- 状態 $0$ と状態 $3$ は吸収状態である（$p_{00}=p_{33}=1$）。
- 状態 $1$ からは $p_{12}=\frac{1}{2}$, $p_{11}=\frac{1}{4}$, $p_{10}=\frac{1}{4}$。
- 状態 $2$ からは $p_{23}=\frac{1}{3}$, $p_{21}=\frac{1}{3}$, $p_{20}=\frac{1}{3}$。

$X_0=1$ から出発したとき、この連鎖が状態 $0$ に到達する前に状態 $3$ に到達する確率を求めよ。

連続型確率変数 $X$ の確率密度関数が
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}\sin x& (0\le x\le \pi )\\ 0& (\text{otherwise})\end{array}$$
で与えられている。$X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

確率変数 $X$ の確率密度関数が
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}{e}^{-x/2}& (x>0)\\ 0& (x\le 0)\end{array}$$
で与えられている。$Y=\sqrt{X}$ とおくとき、$y>0$ における $Y$ の確率密度関数 $g(y)$ を $y$ の式で表せ。

確率変数 $X$ の積率母関数が
$$M_X(t)=E[e^{tX}]=\frac{1}{(1-2t{)}^3}\left(t<\frac{1}{2}\right)$$
で与えられている。$X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

確率変数 $X$ の積率母関数が
$$M_X(t)=E\left[e^{tX}\right]=\frac{1}{(1-2t{)}^3}\left(t<\frac{1}{2}\right)$$
で与えられている。$X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

状態空間 $\{1,2,3,4\}$ 上の斉次マルコフ連鎖 $X_0,X_1,X_2,\dots$ の推移確率行列が
$$P=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{4}& \frac{1}{2}& 0\\ \frac{1}{6}& \frac{1}{3}& 0& \frac{1}{2}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$
で与えられている。ここで $P$ の $(i,j)$ 成分は $P(X_{n+1}=j\mid X_n=i)$ を表す。状態 $1$ と状態 $4$ は吸収状態である。$X_0=2$ のとき、この連鎖が状態 $1$ より先に状態 $4$ に到達する（すなわち最終的に状態 $4$ に吸収される）確率を求めよ。

連続型確率変数 $X,Y$ の同時確率密度関数が
$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}8xy& (0<x<y<1)\\ 0& (\text{otherwise})\end{array}$$
で与えられている。$X$ と $Y$ の相関係数 $\rho (X,Y)=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{V(X)V(Y)}}$ を求めよ。

確率変数 $X,Y$ は互いに独立で、それぞれ確率密度関数
$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x}& (x>0)\\ 0& (x\le 0)\end{array},f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}2e^{-2y}& (y>0)\\ 0& (y\le 0)\end{array}$$
をもつ。$T=\frac{X}{Y}$ とおくとき、$t>0$ における $T$ の確率密度関数 $g(t)$ を $t$ の式で表せ。

$\theta >0$ を未知の母数、$n$ を正の整数とする。$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\theta }{e}^{-x/\theta }& (x>0)\\ 0& (x\le 0)\end{array}$$
をもつ分布に従う。$\bar{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$ とおく。${\theta }^2$ の最尤推定量は ${\bar{X}}^2$ であるが、これは ${\theta }^2$ の不偏推定量ではない。$n$ のみによる定数 $c_n$ で、$c_n{\bar{X}}^2$ がすべての $\theta >0$ に対して ${\theta }^2$ の不偏推定量となるものを $n$ の式で表せ。

確率変数 $X$ は区間 $(0,1)$ 上の一様分布に従う。$X=x$ $(0<x<1)$ が与えられたとき、確率変数 $Y$ の条件付き分布は区間 $(0,x)$ 上の一様分布であるとする。$X$ と $Y$ の相関係数 $\rho (X,Y)$ を求めよ。

状態空間 $\{1,2,3\}$ 上の斉次マルコフ連鎖 $X_0,X_1,X_2,\dots$ の推移確率行列が
$$P=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{4}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{3}& 0& \frac{2}{3}\end{array}\right)$$
で与えられている（$(i,j)$ 成分が状態 $i$ から状態 $j$ へ 1 回で移る確率）。$X_0=1$ とするとき、極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P(X_{n+1}=X_n)$$
の値を求めよ。

1 個のさいころを、$1$ の目と $2$ の目がどちらも少なくとも 1 回ずつ出るまで繰り返し投げる。投げる回数を $N$ とするとき、$N$ の分散 $V(N)$ を求めよ。

確率変数 $X,Y$ は互いに独立で、$X$ は確率密度関数 $2e^{-2x}(x>0)$、$Y$ は確率密度関数 $e^{-y}(y>0)$ をもつ（いずれも $0$ 以下では密度 $0$）。$W=\frac{X}{Y}$ とおくとき、$w>0$ における $W$ の確率密度関数 $g(w)$ を $w$ の式で表せ。

状態空間 $\{0,1,2,3\}$ 上の斉次マルコフ連鎖 $X_0,X_1,X_2,\dots$ の 1 ステップの推移確率が次で与えられている。
- 状態 $0$ と状態 $3$ は吸収状態である（一度入ると出ない）。
- 状態 $1$ からは、確率 $\frac{1}{3}$ で $0$ へ、確率 $\frac{1}{2}$ で $2$ へ移り、確率 $\frac{1}{6}$ で $1$ にとどまる。
- 状態 $2$ からは、確率 $\frac{1}{2}$ で $0$ へ、確率 $\frac{1}{4}$ で $1$ へ、確率 $\frac{1}{4}$ で $3$ へ移る。

$X_0=1$ のとき、この連鎖が状態 $0$ より先に状態 $3$ に到達する確率を求めよ。

確率変数 $X,Y$ は同じ確率空間上で定義され、それぞれ有限個の値しかとらないとする。$X$ のとりうる値全体の集合を $S$、$Y$ のとりうる値全体の集合を $T$ とし（$S,T$ は有限集合）、すべての $x\in S$ に対して $P(X=x)>0$ とする。$x\in S$ に対して、$X=x$ のもとでの $Y$ の条件付き期待値を
$$E[Y\mid X=x]=\sum _{y\in T}y\frac{P(X=x,Y=y)}{P(X=x)}$$
で定める。また、$X$ の分散 $V(X)$ は正であるとする。

ある実数 $a,b$ が存在して、すべての $x\in S$ に対して
$$E[Y\mid X=x]=a+bx$$
が成り立つとき、
$$b=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{V(X)},a=E[Y]-bE[X]$$
であることを証明せよ。ただし $\mathrm{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]$、$V(X)=E[X^2]-(E[X]{)}^2$ であり、期待値の線形性は用いてよい。

$\theta >0$ を未知の母数、$n$ を正の整数とする。$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\theta }& (\theta \le x\le 2\theta )\\ 0& (\text{otherwise})\end{array}$$
をもつ分布（閉区間 $[\theta ,2\theta ]$ 上の一様分布）に従うとする。$X_1,\dots ,X_n$ にもとづく $\theta$ の最尤推定量を $\hat{\theta }$ とするとき、平均二乗誤差 $E\left[(\hat{\theta }-\theta {)}^2\right]$ を $n,\theta$ の式で表せ。

$n$ を正の整数とする。$1$ から $6$ までの目が等しい確率で出るさいころを $n$ 回投げる。各回の結果は互いに独立とする。出た目の種類の数（$n$ 回のうち少なくとも $1$ 回出た目の個数）を $D$ とするとき、$D$ の分散 $V(D)$ を $n$ の式で表せ。

確率変数 $X$ の特性関数 ${\phi }_X(t)=E\left[e^{itX}\right]$ が
$${\phi }_X(t)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sin 2t\sin t}{2t^2}& (t\ne 0)\\ 1& (t=0)\end{array}$$
で与えられている（$t$ は実数）。確率 $P\left(|X|\le \frac{3}{2}\right)$ を求めよ。

表が出る確率が $p$ $(0<p<1)$ の硬貨を、毎回独立に繰り返し投げる。「表が $3$ 回連続して出る」または「裏が $2$ 回連続して出る」のどちらかが初めて起きた時点で投げるのをやめる。表が $3$ 回連続して出たことで終わる確率を $p$ の式で表せ。

確率変数 $X$ の確率密度関数が
$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}{x}^2{e}^{-x}& (x>0)\\ 0& (x\le 0)\end{array}$$
で与えられている。$X=x$ $(x>0)$ が与えられたとき、確率変数 $Y$ の条件付き確率密度関数は
$$f_{Y\mid X}(y\mid x)=\{\begin{array}{ll}x{e}^{-xy}& (y>0)\\ 0& (y\le 0)\end{array}$$
であるとする。$X$ と $Y$ の相関係数 $\rho (X,Y)$ を求めよ。

確率変数 $X,Y$ は互いに独立で、どちらも区間 $(0,1)$ 上の一様分布に従う。$Z=X{Y}^2$ とおく。$Z$ の中央値、すなわち $P(Z\le m)=\frac{1}{2}$ を満たす実数 $m$ を求めよ。

$\theta >0$ を未知の母数とし、$n$ を正の整数とする。$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\theta }& (\theta \le x\le 2\theta )\\ 0& (\text{otherwise})\end{array}$$
をもつ分布に従うとする。$\theta$ の最尤推定量を $\hat{\theta }$ とし、定数 $c_n$ を $T=c_n\hat{\theta }$ が $\theta$ の不偏推定量となるように定める。このとき $T$ の分散 $V(T)$ を $n,\theta$ を用いて表せ。