確率・統計の問題

方針：積率母関数の積で $X+Y$ の分布を求める。

平均 $\lambda$ のポアソン分布に従う確率変数 $Z$ の積率母関数は、$e^x$ のマクローリン展開 ${\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{x^k}{k!}=e^x$ を使うと
$$M_Z(t)=E(e^{tZ})=\sum _{k=0}^{\infty }{e}^{tk}{e}^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}=e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(\lambda e^t{)}^k}{k!}=e^{-\lambda }{e}^{\lambda e^t}=e^{\lambda (e^t-1)}$$
である。よって
$$M_X(t)=e^{2(e^t-1)},M_Y(t)=e^{3(e^t-1)}.$$

$X$ と $Y$ は独立なので、$e^{tX}$ と $e^{tY}$ も独立であり、
$$M_{X+Y}(t)=E(e^{tX}{e}^{tY})=E(e^{tX})E(e^{tY})=M_X(t)M_Y(t)=e^{2(e^t-1)}{e}^{3(e^t-1)}=e^{5(e^t-1)}.$$
これは平均 $5$ のポアソン分布の積率母関数である。積率母関数は分布を一つに定めるので、$X+Y$ は平均 $5$ のポアソン分布に従う（ポアソン分布の再生性）。したがって
$$P(X+Y=2)=e^{-5}\frac{5^2}{2!}=\frac{25}{2}{e}^{-5}.$$

（確かめ：畳み込みによる計算） $X+Y=2$ となるのは $(X,Y)=(0,2),(1,1),(2,0)$ の場合で、独立性から
$$P(X+Y=2)=\sum _{k=0}^{2}P(X=k)P(Y=2-k)=e^{-5}\left(1\cdot \frac{9}{2}+2\cdot 3+\frac{4}{2}\cdot 1\right)=e^{-5}\left(\frac{9}{2}+6+2\right)=\frac{25}{2}{e}^{-5}$$
となり、一致する。

答え：$\frac{25}{2}{e}^{-5}$

独立なポアソン分布の和はポアソン分布に従う。$X+Y$ は平均 $2+3=5$ のポアソン分布に従うので、$P(X+Y=2)=e^{-5}\frac{5^2}{2!}=\frac{25}{2}{e}^{-5}$。

検算（直接計算）: $P(X+Y=2)={\sum }_{k=0}^{2}P(X=k)P(Y=2-k)=e^{-5}\left(\frac{9}{2}+2\cdot 3+\frac{4}{2}\right)=e^{-5}\left(\frac{9}{2}+6+2\right)=\frac{25}{2}{e}^{-5}$。
内訳は k=0: $1\cdot 9/2$、k=1: $2\cdot 3=6$、k=2: $(4/2)\cdot 1=2$。一致する。