確率変数の変換

$Y = g (X)$ や 2 変数の変換の密度を、累積分布関数の微分やヤコビアンで求められる

前提

同時分布・周辺分布と独立性（大学数学確率・統計）
重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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同時分布・周辺分布と独立性（大学数学確率・統計）
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多変数の連鎖律（大学数学微分積分）
重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）

説明

確率変数 $X$ の分布がわかっているとき、 $Y = g (X)$ のように $X$ を関数で変換した確率変数の確率密度関数を求める技能です。2 つの確率変数 $(X, Y)$ を $(U, V)$ に変換する場合も同じように扱えます。指数分布や正規分布から別の分布を作る場面、和や比の分布を求める場面、シミュレーションで乱数を変換する場面などで使います。

なぜそうしてよいのか

連続型の確率変数では、累積分布関数 $F_{Y} (y) = P (Y \leq y)$ を微分すると確率密度関数 $f_{Y} (y)$ が得られます。そこで、事象 ${g (X) \leq y}$ を $X$ についての事象に書き直します。そうすれば $F_{Y} (y)$ は $X$ の密度の積分で計算でき、それを $y$ で微分すれば $f_{Y} (y)$ が求まります。これが累積分布関数による方法で、どんな $g$ にも使える基本の考え方です。

特に $g$ が狭義単調で、逆関数 $x = h (y)$ が微分可能なときを考えます。増加なら $F_{Y} (y) = F_{X} (h (y))$ です。減少なら不等号の向きが逆になって $F_{Y} (y) = 1 - F_{X} (h (y))$ です。どちらも合成関数の微分により、まとめて $f_{Y} (y) = f_{X} (h (y)) ∣ h^{'} (y) ∣$ となります。 $∣ h^{'} (y) ∣$ は、 $y$ の微小区間の幅が $x$ の世界では何倍の幅に対応するかを表す倍率です。確率（=面積）が変換の前後で保たれるように、この倍率を掛けて調整しているのです。

2 変数の場合を考えます。 $(U, V) = T (X, Y)$ が 1 対 1 で、逆変換 $x = x (u, v), y = y (u, v)$ が偏微分可能だとします。どんな領域 $B$ についても $P ((U, V) \in B) = \iint_{T^{- 1} (B)} f_{X, Y} (x, y) d x d y$ が成り立ちます。右辺を重積分の変数変換で $(u, v)$ の積分に直すと $\iint_{B} f_{X, Y} (x (u, v), y (u, v)) \frac{\partial ( x , y )}{\partial ( u , v )} d u d v$ になります。したがって、積分の中身がそのまま $(U, V)$ の同時密度です。1 変数の $∣ h^{'} (y) ∣$ が、ヤコビアンの絶対値に置き換わったものと考えられます。

手順

$X$ の値の範囲から、 $Y = g (X)$ のとる値の範囲を求める。範囲外では $f_{Y} (y) = 0$ である。
範囲内の $y$ について $F_{Y} (y) = P (g (X) \leq y)$ と書き、これを $X$ についての事象に直す。 $g$ が減少関数なら不等号の向きが逆になることに注意する。単調でなければ、条件を満たす $x$ の範囲をすべて書き出す。
$F_{Y} (y)$ を $f_{X}$ の定積分（または $F_{X}$ ）で計算する。
$F_{Y} (y)$ を $y$ で微分して $f_{Y} (y) = F_{Y}^{'} (y)$ を得る。 $g$ が単調なら、公式 $f_{Y} (y) = f_{X} (h (y)) ∣ h^{'} (y) ∣$ （ $h$ は $g$ の逆関数）で検算できる。
2 変数の変換では、逆変換 $x = x (u, v), y = y (u, v)$ を求めてヤコビアン $\frac{\partial ( x , y )}{\partial ( u , v )}$ を計算する。 $f_{U, V} (u, v) = f_{X, Y} (x (u, v), y (u, v)) \frac{\partial ( x , y )}{\partial ( u , v )}$ とし、 $(u, v)$ の範囲を書き添える。片方の分布が欲しければ、もう片方の変数で積分して周辺密度を求める。

例題

確率変数 $X$ の確率密度関数が $f_{X} (x) = 2 x (0 < x < 1)$ 、それ以外では $0$ で与えられている。 $Y = - lo g X$ とするとき、 $y > 0$ における $Y$ の確率密度関数 $f_{Y} (y)$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $0 < X < 1$ のとき $lo g X < 0$ なので、 $Y = - lo g X$ は $(0, \infty)$ の値をとる。よって $y \leq 0$ では $f_{Y} (y) = 0$ であり、以下は $y > 0$ で考える。

【手順 2】 $F_{Y} (y) = P (- lo g X \leq y) = P (lo g X \geq - y) = P (X \geq e^{- y})$ である。 $- lo g x$ は減少関数なので、不等号の向きが逆になる。 $y > 0$ のとき $0 < e^{- y} < 1$ である。

【手順 3】 $F_{Y} (y) = \int_{e^{- y}}^{1} 2 x d x = [x^{2}]_{e^{- y}}^{1} = 1 - e^{- 2 y} .$

【手順 4】 $y$ で微分して $f_{Y} (y) = \frac{d}{d y} (1 - e^{- 2 y}) = 2 e^{- 2 y}$ を得る。

公式でも検算する。逆関数は $h (y) = e^{- y}$ で $∣ h^{'} (y) ∣ = e^{- y}$ だから、 $f_{X} (h (y)) ∣ h^{'} (y) ∣ = 2 e^{- y} \cdot e^{- y} = 2 e^{- 2 y}$ となり一致する。

したがって $y > 0$ において $f_{Y} (y) = 2 e^{- 2 y}$ である。

答え: $2 e^{- 2 y}$

よくある誤り

減少関数で変換したのに不等号の向きを変えない誤り。例えば $P (- lo g X \leq y) = P (X \leq e^{- y})$ としてしまう。正しくは $P (X \geq e^{- y})$ で、公式でも $h^{'} (y)$ ではなく絶対値 $∣ h^{'} (y) ∣$ を掛ける。
$f_{X}$ に逆関数を代入するだけで、倍率 $∣ h^{'} (y) ∣$ を掛け忘れる誤り。例えば $X$ が $(0, 1)$ 上の一様分布、 $Y = X^{2}$ のとき $f_{Y} (y) = 1$ としてしまう。正しくは $h (y) = y$ より $f_{Y} (y) = 1 \cdot \frac{1}{2 y} = \frac{1}{2 y} (0 < y < 1)$ である。
単調でない変換で、片方の枝だけを数える誤り。例えば $X$ が $(- 1, 1)$ 上の一様分布（密度 $\frac{1}{2}$ ）、 $Y = X^{2}$ のとき、 $x = y$ だけを使って $f_{Y} (y) = \frac{1}{4 y}$ としてしまう。正しくは $F_{Y} (y) = P (- y \leq X \leq y) = y$ より $f_{Y} (y) = \frac{1}{2 y} (0 < y < 1)$ である。
2 変数の変換で、ヤコビアンの向きを逆にする誤り。例えば $U = X + Y, V = X - Y$ のとき $\frac{\partial ( u , v )}{\partial ( x , y )} = 2$ を掛けてしまう。正しくは逆変換 $x = \frac{u + v}{2}, y = \frac{u - v}{2}$ から $\frac{\partial ( x , y )}{\partial ( u , v )} = \frac{1}{2}$ を掛け、 $f_{U, V} (u, v) = \frac{1}{2} f_{X, Y} (\frac{u + v}{2}, \frac{u - v}{2})$ とする。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

独立な確率変数の和の分布（大学数学確率・統計）
最大値・最小値の分布（順序統計量）（大学数学数理統計）
不変測度と不変密度（大学院数学力学系・エルゴード理論）