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数理統計の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学数学数理統計

$n$ を $3$ 以上の整数とし、 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ は互いに独立に、確率密度関数
$f (x ∣ θ) = θ x^{θ - 1} (0 < x < 1)$
（ $0 < x < 1$ 以外では $f (x ∣ θ) = 0$ ）に従う確率変数とする。ここで $θ > 0$ は未知の母数である。

$S = - i = 1 \sum n lo g X_{i}$ とおき、 $θ$ の推定量
$T = \frac{n - 1}{S}$
を考える（ $T$ は $θ$ の不偏推定量である）。 $θ$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を $L (θ)$ とするとき、比 $\frac{L ( θ )}{V ( T )}$ を $n$ の式で求めよ。

この問題で使うもの

母数の関数の推定とクラメール・ラオの下限・効率（説明と入口の問題）
フィッシャー情報量とクラメール・ラオの下限（説明と入口の問題）
独立な確率変数の和の分布（説明と入口の問題）
ガンマ関数・ベータ関数とガンマ分布（説明と入口の問題）
確率変数の変換（説明と入口の問題）
一様分布・指数分布（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（99 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず 1 個の観測の対数尤度を $θ$ で 2 回微分してフィッシャー情報量を求め、 $n$ 個分にしてクラメール・ラオの下限を出します。次に $T$ の分散を計算するために $S$ の分布を調べます。

ヒント 2

$Y_{i} = - lo g X_{i}$ は指数分布（密度 $θ e^{- θ y}$ ）に従うので、 $S$ はガンマ分布に従います。 $E [1/ S]$ と $E [1/ S^{2}]$ をガンマ関数の積分で求めます。

ヒント 3

$L (θ) = \frac{θ ^{2}}{n}$ 、 $E [\frac{1}{S}] = \frac{θ}{n - 1}$ 、 $E [\frac{1}{S ^{2}}] = \frac{θ ^{2}}{( n - 1 ) ( n - 2 )}$ です。これらから $V (T) = E [T^{2}] - θ^{2}$ を計算します。

答えと解説

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\frac{n - 2}{n}

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解説を読む

フィッシャー情報量とクラメール・ラオの下限

1 個の観測について
$lo g f (x ∣ θ) = lo g θ + (θ - 1) lo g x, \frac{\partial}{\partial θ} lo g f = \frac{1}{θ} + lo g x, \frac{\partial ^{2}}{\partial θ ^{2}} lo g f = - \frac{1}{θ ^{2}}$
である。台 $(0, 1)$ が $θ$ によらないので正則条件が成り立ち、1 個あたりのフィッシャー情報量は
$I_{1} (θ) = - E [\frac{\partial ^{2}}{\partial θ ^{2}} lo g f (X ∣ θ)] = \frac{1}{θ ^{2}}$
である。独立な $n$ 個では $I_{n} (θ) = n I_{1} (θ) = \frac{n}{θ ^{2}}$ なので、
$L (θ) = \frac{1}{I _{n} ( θ )} = \frac{θ ^{2}}{n} .$

$S$ の分布

$Y_{i} = - lo g X_{i}$ とおくと、 $y > 0$ に対して
$P (Y_{i} > y) = P (X_{i} < e^{- y}) = \int_{0}^{e^{- y}} θ x^{θ - 1} d x = e^{- θ y}$
なので、 $Y_{i}$ は密度 $θ e^{- θ y}$ の指数分布に従う。 $Y_{1}, \dots, Y_{n}$ は独立なので、 $S = \sum Y_{i}$ は密度
$g (s) = \frac{θ ^{n} s ^{n - 1} e ^{- θ s}}{( n - 1 )!} (s > 0)$
のガンマ分布に従う。（なお同時密度は $θ^{n} e^{- (θ - 1) S}$ と書けるので、因子分解定理により $S$ は $θ$ の十分統計量である。）

$E [1/ S]$ と $E [1/ S^{2}]$

$k = 1, 2$ （ $n - k \geq 1$ ）について、ガンマ関数の積分 $\int_{0}^{\infty} s^{m - 1} e^{- θ s} d s = \frac{( m - 1 )!}{θ ^{m}}$ を用いると
$E [S^{- k}] = \frac{θ ^{n}}{( n - 1 )!} \int_{0}^{\infty} s^{n - k - 1} e^{- θ s} d s = \frac{θ ^{n}}{( n - 1 )!} \cdot \frac{( n - k - 1 )!}{θ ^{n - k}} = θ^{k} \frac{( n - k - 1 )!}{( n - 1 )!} .$
よって
$E [\frac{1}{S}] = \frac{θ}{n - 1}, E [\frac{1}{S ^{2}}] = \frac{θ ^{2}}{( n - 1 ) ( n - 2 )}$
（ $n \geq 3$ なので有限）。

$V (T)$

$E [T] = (n - 1) \cdot \frac{θ}{n - 1} = θ$ で不偏であり、
$E [T^{2}] = (n - 1)^{2} \cdot \frac{θ ^{2}}{( n - 1 ) ( n - 2 )} = \frac{( n - 1 ) θ ^{2}}{n - 2}$
より
$V (T) = \frac{( n - 1 ) θ ^{2}}{n - 2} - θ^{2} = \frac{θ ^{2}}{n - 2} .$

比

$\frac{L ( θ )}{V ( T )} = \frac{θ ^{2} / n}{θ ^{2} / ( n - 2 )} = \frac{n - 2}{n} .$

比は $1$ より小さく、 $T$ はクラメール・ラオの下限には達しない（ただし $n \to \infty$ で $1$ に近づく）。

別解

$Y = - lo g X$ の密度は $θ e^{- θ y}$ ( $y > 0$ ) で、 $Y \sim Exp (θ)$ 。よって $S = \sum Y_{i} \sim Gamma (n, θ)$ （形状 $n$ , 率 $θ$ ）。

クラメール・ラオの下限: $lo g f = lo g θ + (θ - 1) lo g x$ , $\partial_{θ}^{2} lo g f = - 1/ θ^{2}$ より $I_{1} (θ) = 1/ θ^{2}$ 。 $θ$ の不偏推定量に対する下限は $L (θ) = \frac{1}{n I _{1}} = \frac{θ ^{2}}{n}$ 。

$T$ の分散: $E [S^{- k}] = \frac{θ ^{k} Γ ( n - k )}{Γ ( n )}$ より $E [1/ S] = \frac{θ}{n - 1}$ , $E [1/ S^{2}] = \frac{θ ^{2}}{( n - 1 ) ( n - 2 )}$ （ $n \geq 3$ ）。
$Var (1/ S) = θ^{2} [\frac{1}{( n - 1 ) ( n - 2 )} - \frac{1}{( n - 1 ) ^{2}}] = \frac{θ ^{2}}{( n - 1 ) ^{2} ( n - 2 )}$ 。
ゆえに $V (T) = (n - 1)^{2} Var (1/ S) = \frac{θ ^{2}}{n - 2}$ 。

比: $\frac{L}{V ( T )} = \frac{θ ^{2} / n}{θ ^{2} / ( n - 2 )} = \frac{n - 2}{n}$ 。

検算: $n = 3$ で $V (T) = θ^{2}$ , $L = θ^{2} /3$ , 比 $1/3 = (3 - 2) /3$ 。 $n \to \infty$ で比は 1 に近づき漸近有効性と整合。

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