代表値（平均値・中央値・最頻値）

あるパン屋で、$8$ 日間に売れたメロンパンの個数を調べたところ、次のようになった（単位は個）。$$12,7,15,9,7,20,11,7$$このデータの中央値を求めよ。

ある部の部員 $8$ 人が、先月図書室で借りた本の冊数を調べたところ、次のようになった（単位は冊）。
$$5,2,7,3,9,4,6,3$$
このデータの中央値を求めよ。

ある高校の生徒 $10$ 人がハンドボール投げを行った。記録は次の通りである（単位は m）。
$$18,25,21,16,30,22,19,27,24,20$$
このデータの中央値を求めよ。

5 人の生徒が先月読んだ本の冊数を調べたところ、次のようになった（単位は冊）。$$2,5,6,8,9$$ このデータの分散を求めよ。

ある $5$ 人の生徒が $10$ 点満点の小テストを受けたところ、得点は次のようになった。$$4,7,5,9,10(\text{点})$$このデータの分散を求めよ。

ある店で、4 日間の最高気温 $x$（℃）と冷たい飲み物の販売数 $y$（本）を調べたところ、次の表のようになった。

$x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求めよ。

ある店で、4 日間の最高気温 $x$（℃）と、その日に売れたアイスクリームの個数 $y$（個）を調べたところ、次の表のようになった。

$x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求めよ。

ある店で、5 日間の最高気温 $x$（℃）と、温かい飲み物の売上本数 $y$（本）を調べたところ、次の表のようになった。

$x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求めよ。

ある店で 4 週間にわたり、1 週間に配ったチラシの枚数 $x$（単位 百枚）と、その週の来店者数 $y$（単位 十人）を調べたところ、次の 4 組のデータ $(x_i,y_i)$ $(i=1,2,3,4)$ が得られた。
$$(1,2),(2,3),(3,5),(4,6)$$
$y$ を $x$ で説明する回帰直線 $y=a+bx$ を、残差平方和 $\sum _{i=1}^4\{y_i-(a+b{x}_i){\}}^2$ が最小になるように（最小二乗法で）定める。このとき、決定係数
$$R^2=1-\frac{\sum _{i=1}^4\{y_i-(a+b{x}_i){\}}^2}{\sum _{i=1}^4(y_i-\bar{y}{)}^2}$$
を求めよ。ただし $\bar{y}$ は $y_1,\dots ,y_4$ の平均値である。

5 人の生徒 A, B, C, D, E に、数学と英語の小テスト（各 15 点満点）を行ったところ、得点は次のようになった。

変量 $x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求めよ。

8 人の生徒が 20 点満点の小テストを受けた。得点は次の通りである（単位は点）。
$$2,4,5,8,10,12,a,b$$
ただし、$a,b$ は 0 以上 20 以下の整数である。このデータの平均値は $7$ 点であり、最頻値はただ 1 つで、その値は $8$ 点である。このデータの中央値を求めよ。

5 人の生徒 A, B, C, D, E について、1 週間の自宅学習時間 $x$（時間）と小テストの得点 $y$（点）を調べたところ、次の表のようになった。

変量 $x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求めよ。

次の $8$ 個の値からなるデータがある。
$$3,5,6,9,12,15,a,b$$
ただし、$a,b$ は整数で $a\leqq b$ とする。このデータの最頻値はただ $1$ つで $9$ であり、中央値は $8$ である。このデータの平均値を求めよ。

ある図書委員会の生徒 20 人に、先月読んだ本の冊数を調べたところ、結果は次の度数分布表のようになった。ただし、$x,y$ は 0 以上の整数である。

冊数の平均値が $2.35$ 冊であるとき、冊数の中央値を求めよ。

6 人の生徒が 1 日に解いた数学の問題数を調べたところ、次のようになった（単位は問）。
$$3,8,5,12,9,x$$
このデータの平均値が $7$ 問であるとき、このデータの標準偏差を求めよ。

$X_1,X_2,\dots$ を独立同分布な確率変数で、それぞれ確率密度関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2e^{-2x}& (x\ge 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
をもつもの（パラメータ $2$ の指数分布）とする。$N$ は $X_1,X_2,\dots$ と独立で、正の整数に値をとり
$$P(N=n)=\frac{1}{3}{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-1}(n=1,2,3,\dots )$$
を満たす確率変数とする。
$$S=\sum _{k=1}^N{X}_k$$
とおくとき、確率 $P(S>3)$ を求めよ。

5 人の生徒に 2 種類の小テストを行い、それぞれの得点を変量 $x$, $y$ として次の表にまとめた。ただし、$a$, $b$ は $a<b$ を満たす実数である。

変量 $y$ の平均値は $6$、分散は $6$ である。このとき、$x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求めよ。ただし、分散と共分散は、偏差の 2 乗の和や偏差の積の和をデータの個数 $5$ で割ったものとする。

ある 8 人の生徒が 10 点満点の小テストを受けた。得点はすべて $0$ 以上 $10$ 以下の整数で、そのうち 6 人の得点は
$$0,2,5,6,8,10$$
であった。残りの 2 人の得点を $a,b$ $(a\leqq b)$ とする。

この 8 人の得点のデータについて、最頻値がただ 1 つに定まり、さらに平均値・中央値・最頻値の 3 つがすべて等しくなった。このとき、積 $ab$ の値を求めよ。

7 人の生徒が 10 点満点の小テストを受けた。得点はすべて $0$ 以上 $10$ 以下の整数であり、7 人の得点のデータについて次の 3 つの条件が成り立っていた。

• 平均値は $6$ 点である。
• 中央値は $7$ 点である。
• 最頻値はただ 1 つに定まり、その値は $8$ 点である。

7 人の得点を小さい順に並べたものを $x_1\leqq x_2\leqq \cdots \leqq x_7$ とするとき、組 $(x_1,x_2,\dots ,x_7)$ として考えられるものは何通りあるか求めよ。

$n$ を $2$ 以上の整数とする。$1$ から $n$ までの各整数 $k$ を、それぞれちょうど $k$ 個ずつ並べてできるデータ
$$1,2,2,3,3,3,\dots ,\underset{n\text{個}}{\underbrace{n,n,\dots ,n}}$$
を考える（値 $k$ がちょうど $k$ 個含まれ、データの大きさは $1+2+\cdots +n$ である）。

このデータの標準偏差が $10$ 以上となるような $n$ のうち、最小のものを求めよ。

9 個の正の整数からなるデータがある。このデータは次の 3 つの条件をすべて満たす。

• 平均値は $10$ である。
• 中央値は $10$ である。
• 最頻値はただ 1 つに定まり、その値は $10$ である（$10$ の個数は、ほかのどの値の個数よりも多い）。

このデータの最大値としてとりうる値のうち、最も大きいものを求めよ。

7 個の値からなるデータ
$$3,6,8,11,14,x,y$$
がある。ただし、$x,y$ は $x\leqq y$ を満たす実数である。このデータの平均値は $9$、四分位範囲は $8$ である。このとき、このデータの分散がとりうる値の最大値を求めよ。

ただし、四分位数は次のように定める。データを小さい順に並べたとき、中央値より小さい側の 3 個の値の中央値を第 1 四分位数 $Q_1$、中央値より大きい側の 3 個の値の中央値を第 3 四分位数 $Q_3$ とし、四分位範囲を $Q_3-Q_1$ とする。

$6$ 人の生徒が小テストを受けた。得点はすべて $1$ 以上 $10$ 以下の整数である。この $6$ 人の得点のデータは、次の $3$ つの条件をすべて満たしていた。

• 平均値は $\frac{13}{2}$ である。
• 中央値は $6$ である。
• 最頻値はただ $1$ つに定まり、その値は $6$ である（すなわち、$6$ の個数は他のどの値の個数よりも多い）。

得点のデータとして考えられるものは何通りあるか求めよ。ただし、生徒の区別はせず、$6$ 個の得点の値の組（小さい順に並べたもの）が異なるものを異なるデータとして数える。