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データの分析の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル数学I データの分析

ある図書委員会の生徒 20 人に、先月読んだ本の冊数を調べたところ、結果は次の度数分布表のようになった。ただし、 $x, y$ は 0 以上の整数である。

冊数	0	1	2	3	4	5	計
人数	2	3	$x$	$y$	2	1	20

冊数の平均値が $2.35$ 冊であるとき、冊数の中央値を求めよ。

この問題で使うもの

代表値（平均値・中央値・最頻値）（説明と入口の問題）
代表値の条件を満たすデータの決定（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（4 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず人数の合計と平均値の条件から $x, y$ についての連立方程式を作りましょう。

ヒント 2

冊数の合計は「平均値 $\times$ 人数」 $= 2.35 \times 20$ です。また、20 個のデータの中央値は、小さい方から 10 番目と 11 番目の値の平均値です。

ヒント 3

連立方程式 $x + y = 12$ 、 $2 x + 3 y = 31$ を解くと $x, y$ が決まります。そのあと、度数を小さい方から足していき、10 番目と 11 番目がどの冊数に当たるかを調べましょう。

答えと解説

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\frac{5}{2}

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解説を読む

$x, y$ を求める。 人数の合計が 20 人であるから
$2 + 3 + x + y + 2 + 1 = 20 より x + y = 12 \dots (1)$

平均値が $2.35$ 冊であるから、冊数の合計は $2.35 \times 20 = 47$ 冊である。よって
$0 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 2 x + 3 y + 4 \cdot 2 + 5 \cdot 1 = 47$
$16 + 2 x + 3 y = 47 より 2 x + 3 y = 31 \dots (2)$

$(2) - 2 \times (1)$ より $y = 31 - 24 = 7$ 、これを $(1)$ に代入して $x = 5$ 。

中央値を求める。 データの個数は 20 個なので、中央値は小さい方から 10 番目と 11 番目の値の平均値である。度数を小さい方から累積すると
- 0 冊まで: $2$ 人
- 1 冊まで: $2 + 3 = 5$ 人
- 2 冊まで: $5 + 5 = 10$ 人
- 3 冊まで: $10 + 7 = 17$ 人

よって 10 番目の値は $2$ 、11 番目の値は $3$ である。したがって中央値は
$\frac{2 + 3}{2} = \frac{5}{2}$
（なお、このとき最頻値は $3$ 冊、平均値は $2.35$ 冊で、3 つの代表値はすべて異なる。）

別解

人数の合計より $2 + 3 + x + y + 2 + 1 = 20$ 、よって $x + y = 12$ 。
平均値より $(0 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 2 x + 3 y + 4 \cdot 2 + 5 \cdot 1) /20 = 2.35$ 。分子は $16 + 2 x + 3 y = 47$ なので $2 x + 3 y = 31$ 。
$x = 12 - y$ を代入すると $24 - 2 y + 3 y = 31$ 、 $y = 7$ 、 $x = 5$ （0 以上の整数で適する）。
度数は 0 冊:2、1 冊:3、2 冊:5、3 冊:7、4 冊:2、5 冊:1。累積は $2, 5, 10, 17, 19, 20$ 。
20 人なので中央値は 10 番目と 11 番目の平均。10 番目は 2 冊、11 番目は 3 冊なので中央値は $\frac{2 + 3}{2} = \frac{5}{2}$ 。
検算: 合計 $= 0 + 3 + 10 + 21 + 8 + 5 = 47$ 、 $47/20 = 2.35$ 。

日	1	2	3	4	5
$x$ （℃）	20	21	22	23	24
$y$ （本）	32	31	30	28	29

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